Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25.

Для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 25
(например, 325X325), необходимо:

1) к квадрату числа сотен (3X3) прибавить полови-
ну числа сотен 9+1,5=10,5;

2) результат, полученный в пункте 1, умножить на 10
10,5X10=105;

3) к полученному произведению приписать 625

325X325=105 625.
Несколько примеров на применение метода:
325X625=1) 36+3=39,

2) 39X10=390,

3) 625X625=390 625.
1525X1525=1) 15²+7,5=232,5,

2)232,5X10=2325,
3) 1525X1525=2 325 625.
Обоснование метода.

Необходимо умножить (а*100+25) на (а*100+25).
(а*100+25) X (а*100+25) = (а²+0,5*а) X 10 X 1000+
+625= (а- 100)²+2* (а*100) *25+25²= (а* 100+25)².

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 75.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 75
(например, 975²), необходимо:

1) к числу сотен (9) приписать 5 (95) и полученное
число умножить на число сотен, увеличенное на 1 (9+1),

95X10=950;

2) к полученному числу приписать 625

975X975 = 950 625.
Проиллюстрируем прием несколькими примерами.
575X375= 1) 35X4=140,
2) 375X375=140 625.

475X475= 1) 45X5 = 225,
2) 475X475 = 225 625.

3375Х3375= 1) 335X34 = 11390,

2) 3375X3375=11 390 625.
В последнем примере вычисление выполняется пись-

менно, но умножение двух четырехзначных чисел свелось
к умножению трехзначного числа на двузначное.
Обоснование метода.

Необходимо найти квадрат числа (а- 100+75), где
а — произвольное натуральное число.

(а* 100+75)²= (а*10+5) * (а+1)*1000+625=
= (10а²+15а+5) * 1000+625= (100а)²+2* 100а* 75+
+5625=(100а+75)².
Примеры для самостоятельного решения:

1) 675Х 675= 3) 2275X2275= 5) 8375X8375=

2) 1375X1375= 4) 775Х 775= 6) 1175X1175=
Ответы для проверки: 1) 455625; 2) 1890625.

3) 5175 625; 4) 600 625; 5) 70140 625; 6) 1380 625.

4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ,
ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5

В гл. II пункт 10 приводится общее правило возведе-
ния в квадрат чисел вида (а*10 + 5). Алгоритм получения
результата следующий:

1) находим произведение а*(а+1);

2) к полученному результату приписываем 25.
Например, 75X75= 1) 7X8=56,

2) 75X75=5625.
При нахождении квадрата трехзначных чисел, со-
гласно этому правилу, необходимо находить произведе-
ние двузначных чисел на двузначные, что затруднительно
выполнять устно. Например,

325X325= 1) 32X33=1056,

2) 325X325=105 625.
Для возведения в квадрат трехзначных чисел можно
предложить метод, упрощающий еще больше вычисли-
тельный процесс:

415X415=

1) число, образованное цифрами десятков и единиц,
делим на 5

15:5=3;

2) к числу сотен (4) приписываем результат деления
(3) и полученное число умножаем на число сотен

43X4=172;

3) к результату, полученному в предыдущем пункте,
приписываем квадрат числа, образованного цифрами
десятков и единиц,

415X415=172 225.

(возводить в квадрат двузначные числа, оканчивающие-
ся на 5, мы уже умеем — см. гл. II, пункт 10).

При приписывании результата возведения в квадрат
чиссла, образованного двумя последними цифрами, необ-
ходимо помнить, что для этого произведения в окончатель-
ном результате отводится три знака. Если в произведении
получается четыре знака, то три последних знака при-
писываются, а старший знак складывается с последней
цифрой результата вычисления пункта 2:

245X245= I) 45:5 = 9,

2) 29X2=58,

3) 45X45=2025,

4) 245X245=60 025.
435X435= 1) 35:5=7,

 

2) 47X4=188,

3) 35X35=1225,

4) 435X435=189 225.

Нетрудно сообразить, как надо реагировать, если в ре-
зультате вычисления частного от деления числа, обра-
зованного двумя последними цифрами на 5, получится
двузначное число:

375X375= 1) 75:5=15,

2) 45X3=135,

3) 75X75=5625,

4) 375X375=140 625.
665X665= 1) 65:5=13,

2) 73X6 = 438,

3) 65X65=4225,

4) 665X665=442 225.

Обоснование метода.

Возводим в квадрат число а*100+Ь*10+5.

(а*100+Ь*10+5)²= [а* 10+ (Ь*10+5): 5] * а* 1000+
+ (Ь*10+5)²= (а*100)²+ (Ь*10+5) * (а* 100)*2+
+ (6*10+5)²= (а*100+Ь*10+5)².

Несколько примеров для самостоятельного решения:

1) 395X395= 3) 445X445= 5) 115X115=

2) 225X225= 4) 285X285= 6) 905X905=

Ответы для проверки: 1) 156 025; 2) 50 625; 3) 198 025;
4) 81225; 5) 13 225; 6) 819 025.

5. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ ВИДА 50±а
(или в общем виде чисел вида 5*10^п±а)

Описывая прием возведения в квадрат чисел вида
50+а, будем иллюстрировать вычислительный процесс
на двух примерах — нахождении 59² и 47².

Для возведения в квадрат числа, близкого к 50,
59²= 47²=

необходимо:

1) из числа, возводимого в квадрат, вычесть 25

59 — 25 = 34, 47 — 25 = 22,

полученный результат дает сотни окончательного резуль-
тата

59² = 34... 47² = 22...

2) найти дополнение числа, возводимого в квадрат,
до 50 и возвести это дополнение в квадрат:

50 — 59 = (—9); 50 — 47 = 3;

(—9)² = 81, 3² = 9.

3) к результату, полученному в пункте 1, приписать
результат, полученный в пункте 2, помня, что для при- I
писывания результата отводятся 2 разряда:

59² = 3481, 47² = 2209.

Во втором примере квадрат дополнения — однозначное
число, поэтому необходимо приписать 09.

Строго говоря, в данном методе необходимо не при-
писать квадрат дополнения, а прибавить квадрат допол-
нения к числу сотен, полученному в пункте 1, т. е.
3400 2200

+ 8 1 + 9

3481 2209

Квадрат дополнения можеть быть не только одно- или
двузначным числом, но может занимать и три разряда.
В этом случае после последнего разъяснения ясно, как
необходимо поступать:
62² =

1) 62 — 25 = 37,

2) 50 —62 = —12,
(--12)² = 144,

3) 3700
+ 144

-3844
Описанный метод можно изложить (причем в более
общем виде) следующим образом.

 

Чтобы возвести в квадрат число (50±а), необходи-

мо:

1) к числу 25 прибавить (алгебраически) число а;

2) к полученному результату приписать а² (с оговор-
ками, касающимися «приписывания»).

Несколько поясняющих примеров:
49Х49= (50— 1)²= 1)25—1=24,

2) 1²=1,

3) 49² = 2401.

63X63= (50+13)²= 1) 25+ 13 = 38,

2) 13²= 169,

3) 63²=3969.

54X54= (50 + 4)²= 1) 25 + 4 = 29,

2) 4²= 16,

3) 542 = 2916.

* Решите самостоятельно следующие примеры:

1)62X62= 3) 39X39= 5) 41X41 =

2) 57 X 57 = 4) 44 X 44 = 6) 64 X 64 =

I Ответы для проверки: 1) 3844; 2) 3249; 3) 1521; 4) 1936;
5) 1681; 6) 4096.

Правильность метода следует из правильности соот-
ношения

(50 + а) • (50 + а) = (25 + а) • 100 + а²
которое справедливо всегда независимо от знака и ве-
личины а. Следовательно, метод целесообразно приме-
нять тогда, когда известна величина а².

Допустим, нам известно, что 26² = 676. Необходимо
найти 24². Пользуемся данным методом;

242= (50 — 26)²=1) 25 —26 = —1,

2) 26² = 676,

3) —100
+676
24² ₌ 576

Рассмотрим возведение в квадрат чисел вида А =
=(5*10^п+-а). Соотношение (50 + а)² =(25 + а) *
* 100 + а² _в общем виде записывается следующим обра-
зом:

А² = (5*10^п + а)²= (А — 25*10^п-1)*100^п+¹ + а² =
= (25*10^п-1+а)*10^п+1+а².

Запишем порядок вычисления квадрата числа А =

= 5*10^п+а по данным формулам на примере нахожде-
ния квадрата чисел 507 и 4990.

1) Представляем число, возводимое в квадрат, в ви-
де 5* 10^п + а

507 = 500+7 (п=2); 4990=5000—10 (п=3).

Эта операция нам нужна только для того, чтобы най-
ти, чему равно а;

2) из А вычитаем 25 • 10^п_1 (практически в получен-
ном представлении А₁= 500 + 7 или А ₂ = 5000 — 10 де-
лим пополам первое слагаемое в одном примере и умень-
шаемое во втором примере):

А₁ — 25 * 10^п = 500: 2 + 7 = 257,
А₂—25- 10^п= 5000: 2 — 10 = 2490;

3) возводим в квадрат а
а² = 7 X 7 = 49,

а² = (_10)2= 100;

4) к результату, полученному в пункте 2, приписыва-
ем а², следя за тем, чтобы приписываемое число занима-
ло (п + 1) разряд (т. е. число разрядов должно быть
на 1 больше числа нулей в числе 5 • 10^п: в первом числе
5 • 10^п = 500 (п = 2) число разрядов для приписывае-
мого числа равно 3, во втором примере 5 • 10^п = 5000
(л = 3) число разрядов приписываемого числа равно 4).

А²₁ = 507² = 257 049; А₂² = 4990² = 24 900 100.

Несколько поясняющих примеров:

5125X5125 = 1) 5125 = 5000+125 (п=3),

2) 2500 + 125 = 2625,

3) 125X125= 15 625,

4) 5125² = 2625

15 625

+ 26 265 625

499 870 X 499 870 = 1) 499 870 = 500 000 — 130 (п = 5).

2) 500000:2—130 = 249 870 или

499 870 — 250 000 = 249 870,

3) 130²= 16 900,

4) 499 870²=249 870 016 900

500 030X500 030= 1) 500 030 = 500 000 + 30 (п =5),

2) 500 000:2 + 30 = 250 030

500 030 — 250 000 = 250 030,

3) 30² = 900,

4) 500 030² = 250 030 000 900.
4909X4109= 1) 4909 = 5000 — 91 (п = 3),

2) 5000:2 —91 =2409 или
4909 — 2500 = 2409,

3) 91² = 8281,

4) 4909² = 24 098 281.

Для освоения метода решите самостоятельно сле-
дующие примеры:
1) 49 979X49 979 =

2) 50 001001X50 001 001 =

3) 497X497=

4) 512X512=

5) 500 113X500 113 =

6) 499 931X499 931 =

Ответы для проверки: 1) 2 497 900 441;

2) 2 500100 101002 001; 3) 247 009; 4) 262 144;

5)250 113 012 769; 6) 249 931 004 761.