Теоретическое введение 1

ЗАДАЧА 1 (См. теоретическое введение 1 стр. 13-17)

ЗАДАЧА 2 (См. теоретическое введение 1 стр. 13-17)

 

 

ЗАДАЧА 3 (См. теоретическое введение 2 стр. 20-22)

3. Кольцо радиусом R = равномерно заряжено с линейной плотностью t Определить потенциал j точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, отстоящей на расстоянии h от его центра.

Решение. Разобьём кольцо на элементарные точечные заряды d q. Запишем потенциал точечного заряды d q в т. А. По (4.11)

По теореме Пифагора . Тогда

 

,

а потенциал, создаваемый всеми зарядами d q кольца L в т. А на перпендикуляре по (4.11) (4.12а), равен

где все величины в интеграле постоянные (кроме d q) и их можно вынести за знак интеграла

.

 

Интеграл просто равен заряду полному q кольца q=t∙L=t∙ 2 πr. Окончательно

 

ЗАДАЧА 4 (См. теоретическое введение 3 стр. 23-25)

.

4. Вычислить поле Е равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.

РЕШЕНИЕ.

 

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда

одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.

Тогда

откуда

(1.26)

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

(1.27)

 

ЗАДАЧА 5 (См. теоретическое введение 4 стр. 27-31)

5. Вычислить поля вблизи поверхности проводника (в отсутствии и в присутствии диэлектрика). Вычислить плотность связанных зарядо σ´ на поверхности диэлектрика, прилегющей к поверхности проводника.

РЕШЕНИЕ. Применим теорему Гаусса в присутствии диэлектрика (См формулы выше)

, (3)

и

, (5)

Тогда (6)

и (7)

Для электростатического поля вблизи поверхности проводника, окружённого однородным изотропным диэлектриком (рис.13.2) из(6)

. (13.1)

Выберем поверхность интегрирования в виде малого прямого цилиндра с площадью оснований S ₀₁= S ₀₂. Заряд q, заключённый внутри объёма цилиндра равен q= σ S ₀₁, а интеграл в (7) равен Е ∙ S ₀₁. Приравнивая, получим . (8)

В отсутствии диэлектрика

. (9)

Уменьшение поля (8) происходит за счет поля, создаваемого связанным зарядом σ´ на поверхности диэлектрика.

.

ЗАДАЧА 6 (См. теоретическое введение 5 стр. 32-35)

.

 

(r ₁ или r ₂). Тогда

 

ЗАДАЧА 7 (См. теоретическое введение 5 стр. 32-35)

 

 

ЗАДАЧА 8 (См. теоретическое введение 5 стр. 32-35)

 

 

 

 

ЗАДАЧА 9 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

ЗАДАЧА 10 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

 

РЕШЕНИЕ

 

 

ЗАДАЧА 11 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

 

ЗАДАЧА 12 (См. теоретическое введение 7 стр. 42-45)

ЗАДАЧА 13 (теоретическое введение См. стр.)

 

 

 

 

 

теоретическое введение 1

§1. Закон Кулона. Принцип суперпозиции.

Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи.

Взаимодействие в вакууме (рис.1) двух неподвижных точечных зарядов q и Q называется электростатическим и описывается законом Кулона

, (1.2)

где r - расстояние между частицами с зарядами q и Q, находящимися в вакууме, - радиус - вектор, направленный к частице, на которую действует сила , из точки, где находится другая частица, e₀ = 8,85×10^-12 Кл²/(Нм²) - электрическая постоянная.

Сила взаимодействия между точечными электрическими зарядами, находящимися в какой-либо среде, уменьшается и с учётом этого (1.2) принимает вид

, (1.3)

где - диэлектрическая проницаемость среды. Безразмерная физическая величина показывает во сколько раз кулоновское взаимодействие между двумя точечными электрическими зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме. Подробнее величина обсуждается в уччебниках.

 

 

Для электромагнитного взаимодействия справедлив принцип суперпозиции: сила, действующая на точечный заряд со стороны системы точечных зарядов, равна векторной сумме сил действующих на него со стороны каждого из зарядов по отдельности.

Использование закона Кулона и принципа суперпозиции позволяет в принципе рассчитать электростатическое взаимодействие любых произвольно заряженных объектов.

 

Рис.1.1

 

§2. Напряженность электрического поля в вакууме.