§4. Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля. Связь потенциала с напряжённостью поля. Принцип суперпозиции для потенциала.
Электростатические силы являются потенциальными - их работа А 12по перемещению частицы с зарядом q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, определяется только начальным и конечным положением частицы и пропорциональна величине q перемещаемого заряда.
| По определению разностью потенциалов j1 - j2между точками 1 и 2 называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемещении электрического заряда q, к величине этого заряда q j1 - j2= A 12/ q. (4.1) |
Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому (отражено кружком на значке интеграла) пути L равна нулю, т.е.
 , (4.2)
|
где dA = 
- элементарная работа сил поля на перемещении 
(помним?, что интеграл по смыслу просто сумма элементарных, т.е. малых величин). Силовое поле, обладающее свойством (4.2), является потенциальным. Подставив dA в (4.2), получим
 (4.3)
|
Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности.
|
Силовое поле E, циркуляция которого равна нулю, является в силу (4.2) также потенциальным.
Величина работы A 12 сил поля, равная по (4.1)
A 12 = q (j1 - j2), (4.4)
равна, с другой стороны, убыли потенциальной энергии частицы в потенциальном поле сил
А 12 = -Δ W n= W n1 - W n2. (4.5)
Из (4.4) и (4.5) следует связь потенциала с потенциальной энергией Wn заряда q в этой точке
. (4.6)
Введенное понятие разности потенциалов (4.1) и связь (4.6) потенциала j с потенциальной энергией Wn не дают однозначного определения j, так как добавление к j любой постоянной величины не изменяет разности потенциалов (и работы), а Wn принципиально задана с точностью до некоторой постоянной. Разность же потенциалов (4.1) определена однозначно, так как при вычитании постоянная сокращается. Если выбрать точку и задать в ней значение j, то после этого потенциал в любой другой точке поля будет иметь определенное значение. Для заряженных тел, занимающих ограниченный объем, удобно считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов.
Единицей измерения потенциала (и разности потенциалов) является 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл).
Работа по перемещению точечного положительного заряда q из одной точки поля в другую вдоль оси х на элементарное расстояние 
равна q 
. С другой стороны, эту работу можно выразить через разность потенциалов на концах отрезка : q (
) =- q 
. Приравнивая оба выражения для работы, получим 
, откуда связь потенциала с напряженности электростатического поля имеет вид
 (4.7)
|
где частная производная соответствует дифференцированию только по перемещению по оси х (рис.4.1). Найдя по аналогии с (4.8) проекции вектора 
на оси y и z, можно записать
(4.8)
Рис.4.1
где 
единичные векторы координатных осей x, y и z.
В математике вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции П, называется градиентом (обозначается 
) и формулу (4.8) записывают в виде
(4.9)
т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону уменьшения потенциала. При перемещении dх по эквипотенциальной поверхности d j = 0 и по (4.8) Ех = 0, т.е. вектор не имеет составляющей, касательной к эквипотенциальной поверхности. В однородном электрическом поле эквипотенциальные поверхности представляют собой параллельные плоскости, пересекаемые под прямым углом силовыми линиями.
В этом случае 
(4.10)
где U = j1 - j2, d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами j1 и j2.
Напряженность 
электростатического поля в объеме и на поверхности проводника равна нулю =0, тогда по (4.7) и d j = 0 и потенциал во всех точках проводника постоянен: объем и поверхность проводника всегда эквипотенциальны.
По напряжённости поля точечного заряда Q и (4.7) находим потенциал на расстоянии r от заряда
 (4.11)
|
при этом считаем, что j ® 0 при r ® ¥.
Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого любым числом точечных зарядов, равен сумме потенциалов полей, создаваемых в рассматриваемой точке пространства каждым зарядом в отдельности
(4.12)
Формулы (4.11) и (4.12) позволяют в принципе рассчитать потенциал поля любой системы зарядов, занимающей ограниченный объем:
. (4.12а)
Рассуждения, поясняющие метод вычислений, совершенно аналогичны приведенным в § 2, следует лишь заменить в них величину вектор Е на скаляр j.
Связь напряженности и потенциала (4.7) - (4.9) используется в ряде случаев для расчета потенциала. В частности, вычисление потенциала поля заряженной с поверхностной плотностью s бесконечной плоскости на расстоянии х от нее даёт
. (4.13)
Если положить j = 0 при х = 0, то const = 0.
На практике сначала вычисляют потенциал j, а затем по (4.7) находят проекции поля на оси выбранной системы координат.
Решение задач
ЗАДАЧА 3
3. Кольцо радиусом R = равномерно заряжено с линейной плотностью t Определить потенциал j точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, отстоящей на расстоянии h от его центра.
Решение. Разобьём кольцо на элементарные точечные заряды d q. Запишем потенциал точечного заряды d q в т. А. По (4.11)
По теореме Пифагора 
. Тогда
,
а потенциал, создаваемый всеми зарядами d q кольца L в т. А на перпендикуляре по (4.11) (4.12а), равен
где все величины в интеграле постоянные (кроме d q) и их можно вынести за знак интеграла
.
Интеграл 
просто равен заряду полному q кольца q=t∙L=t∙ 2 πr. Окончательно
