Чуть только Провансаль в обнимку с заветной бутылкой исчезает за дверью, как филоматики выходят из своего укрытия и возобновляют прерванную экскурсию.
— Мсье Фило, — говорит бес, небрежно развалясь в хозяйском кресле. — Я вижу, глаза ваши упорно путешествуют по книжным полкам. Позвольте узнать, чего они ищут?
Краснея и запинаясь, толстяк признается, что он, как человек суеверный, кое-что загадал. Если ему посчастливится достать с полки один за другим томик Корнеля и томик Ронсара,[62]значит, сбудется его заветное желание и он наверняка получит автограф Мольера.
Черт уязвлен. Опять это проклятое недоверие! Неужто мсье все еще не понял, с кем имеет дело? Автограф обеспечен ему в любом случае! К тому же имеющиеся здесь четыре тома Корнеля и пять томов Ронсара стоят не рядом, а вразброс. Хозяин, положим, отыщет их сразу. Зато постороннему придется перерыть всю библиотеку…
Но обуянный шальной надеждой Фило не слушает доводов рассудка. А вдруг ему все-таки повезет? Чем черт не шутит! Разве это невозможно?
Асмодей внимательно рассматривает свои щегольские атласные туфли. Возможно-то возможно, но вот пробабилите… пардон, вероятность такого исхода, прямо скажем, невелика. Даже в том случае, если мсье пожелает ограничиться одним автором. А уж двумя… Тут совсем дело швах! Мсье сомневается? В таком случае пусть подсчитает сам.
— Полно, Асмодей, — ворчливо увещает Мате. — Вы отлично знаете, что у Фило для этого нет достаточных знаний.
— Вы так думаете? — огрызается уязвленный в самое сердце филолог. — А для чего, позвольте спросить, существует теорема сложения вероятностей?
Мате тотчас вскипает, как упущенное молоко. Что он такое слышит! Ведь если частные вероятности сложить, то получится, что общая вероятность вытащить две книги подряд больше, чем вероятность вытащить каждую в отдельности!
|
|
— Позвольте мне, — вежливо, но непреклонно вклинивается бес. — Видите ли, мсье Фило, на сей раз мы столкнулись с вероятностью сложной, не то что в случае с рецептом. Во-первых, тогда вы искали один рецепт. Во-вторых, найдя его в секретере, вы уже не могли бы найти его в шкатулке с бриллиантами. Здесь же вы ищете не один том, а два, и то, что вы нашли первый, не помешает вам найти второй. Стало быть, прежде мы имели дело с событиями несовместимыми, а теперь — с совместимыми. Так ведь?
— В самом деле, — соображает Фило. — Тут, выходит, нужна какая-то другая теорема, не сложения…
— …а умножения, — подсказывает Мате. — На сей раз частные вероятности следует перемножить. А так как вероятность, в общем-то, всегда меньше единицы, то есть исчисляется правильной дробью, то произведение таких дробей, конечно же, будет меньше каждой в отдельности.
— Значит, — уточняет Фило, — если частные вероятности обозначить через p1, p2, р3… pn, то общая вероятность р = p1 х p2 x p3… pn.
— Совершенно верно. Вот вам и теорема умножения вероятностей, сформулированная, как и теорема сложения, Паскалем. Сложная вероятность СОВМЕСТИМЫХ событий, независимо от их числа, равна произведению вероятностей каждого из благоприятных.
Фило оживленно потирает руки. Так! Сейчас он определит наконец свои шансы на успех, — только бы выяснить, сколько книг в библиотеке мэтра Мольера!
— Восемьсот восемьдесят как одна копеечка, — единым духом выпаливает Асмодей (ему ли не знать!).
|
|
От избытка чувств Фило посылает ему воздушный поцелуй.
— Отлично! Тогда, прежде чем перейти к умножению, определим частные вероятности. Вероятность, что я вытащу один из четырех томов Корнеля, p1 = 4/880. А вероятность добыть один из пяти томов Ронсара p2=5/880
— Экий вы быстрый! — останавливает его Мате. — Если вам посчастливится добыть одного Корнеля, в шкафу останется уже не 880, а 879 книг. Значит p2 = 5/879. Вот теперь можете перемножать.
Фило сосредоточенно подсчитывает произведение… Фью! Ну и вероятность: менее трех стотысячных… Нет, не видать ему автографа как своих ушей!
— Только и надежды, что на меня, — скалится Асмодей. — Так что забудьте о своем намерении и благоволите решить две ма-а-а-аленькие, ну совсем-таки малюсенькие, но… весьма и весьма занятные задачки.
Он ловко выхватывает из шкафа все пять томов Ронсара и выстраивает их на полке корешками к стене, попутно поясняя, что стоят они вперемешку. Пусть-ка теперь мсье подсчитает, какова вероятность вытащить тома в такой, например, последовательности: второй, первый, пятый, третий, четвертый.
Окрыленный своими успехами, Фило тут же объявляет, что p1, то есть вероятность, что в первый раз он из пяти томов вытащит именно второй, равна 1/5. Вероятность, что он следом вытащит первый том, равна уже 1/4. Для следующего тома вероятность равна 1/3, далее 1/2, а затем — просто единице. Стало быть, согласно теореме умножения вероятностей, р = 1/5 х 1/4 х 1/3 х 1/2 х 1 = 1/120.
— Или единице, деленной на факториал пяти, — добавляет Мате, — иначе, на произведение первых пяти натуральных чисел.
|
|
— В общем, не так уж мало, — важничает Фило, — особенно если сравнить эту вероятность с предыдущей… Но у вас, кажется, в запасе вторая задача, Асмодей?
— О, да вы вошли во вкус, мсье! Ну что ж, тогда определите, какова вероятность опять-таки вытащить все пять томов Ронсара, но на сей раз в порядке номеров: 1, 2, 3, 4 и 5.
Фило глубокомысленно морщит свой умудренный лоб. По порядку — это уж подгадать труднее. Выходит, и вероятность меньше…
— Вот что значит сказать, не подумав, — сокрушается Асмодей. — Да будет вам известно, что они совершенно одинаковы.
— Как так?
— Вот над этим вам разрешается поразмыслить дома… Послушайте, мсье, что за книга торчит у вас из кармана?
— Совсем забыл! — спохватывается Фило. — Я отложил ее, чтобы посмотреть получше. Она называется «Письма Людовика де Монтальта к другу-провинциалу и к отцам-иезуитам о морали и политике иезуитов».
— И чем же она вас так заинтересовала?
— Во-первых, потрепана. Многие места отчеркнуты ногтем. Похоже, мэтр Мольер перечитывал ее не раз, и очень внимательно. Во-вторых… гм… — Фило смущенно запинается. — Как ни странно, я никогда не слышал о писателе по имени Людовик де Монтальт.
— Жаль. Мсье Монтальт заслуживает лучшей участи. Для иезуитов его «Письма» будут иметь самые непредвиденные последствия.
— Вот как! — сейчас же заинтересовывается Мате (с некоторых пор он относится к иезуитам как к личным врагам). — Надо думать, вы, Асмодей, читаете их с особенным удовольствием?
— Что я, мсье! Ими зачитывается вся образованная Европа. Иезуиты в ярости! Достаточно сказать, что в 1657 году «Письма» осудил Ватикан, а три года спустя они были сожжены на площади палачом.
— Надеюсь, не вместе с автором? — пугается Фило.
— К счастью, до этого не дошло, мсье.
— Слава Богу! Стало быть, мы сможем навестить этого необыкновенного человека.
Черт таинственно посмеивается. Там видно будет… По правде говоря, он избегает мсье де Монтальта. Для него это существо слишком безупречной нравственности.
— По крайней мере, расскажите о нем, — настаивает Мате.
— Это — сколько угодно!
Асмодей устраивается поудобнее в своем кресле… Но тут опять раздаются шаги Провансаля, и черт в бешенстве вскакивает. Несносный слуга! Он способен отравить жизнь самому Господу Богу! Нет, видно, не будет им здесь покоя. Придется уносить ноги, да поскорей…
НЕУДАЧНАЯ ПОСАДКА
— Наконец-то! — злорадствует Мате. — Хоть раз за все время не вы, а вас прервали на самом интересном месте.
— Вы в этом уверены, мсье? — ухмыляется Асмодей, старательно огибая шпиль какой-то колокольни. — Легко же вас обвести вокруг пальца!
— Что?! — ахает Фило. — Значит, все это опять-таки ваши штучки?
— Попробовал бы я обойтись без моих штучек при таких-то требованиях! То подавай вам премьеру «Тартюфа», то вынь да положь Монтальта… Не могу же я делать два дела сразу. Что я вам, Юлий Цезарь? Или Наполеон?
Воркотню его прерывают возбужденные возгласы Мате.
— Смотрите, смотрите! Вот так зарево! Уж не горит ли снова какая-нибудь деревня?
— Ко! — внезапно прыскает бес. — Ко-ко-ко! Деревня… Скажете тоже… Это же огни Версаля! Празднества по случаю завершения его перестройки длятся шестые сутки, и не успевает отпылать один фейерверк, как в небе вспыхивает новый.
Фило просто вне себя от радости. Так они все-таки летят в Версаль? И смогут посмотреть «Тартюфа»? Вот когда им пригодятся костюмы, с таким трудом добытые в костюмерной!
Тут у него возникает не слишком удачная идея обследовать свое платье, прежде чем предстать в нем перед версальским обществом. Толстяк наклоняет голову, вертит ею во все стороны и…
— Ай! Моя шляпа! Держите… держите… Она улетает!
— Ничего не попишешь, мсье, — невозмутимо отзывается черт. — Придется вам обойтись без нее.
— То есть как это — без нее! Вы хотите, чтобы я показался в Версале без головного убора?! Нет, нет и в третий раз нет! В конце концов, это государственное имущество… Я не допущу…
— Хорошо, хорошо, — скрепя сердце соглашается Асмодей. — Сейчас что-нибудь придумаем.
Он внимательно вглядывается в плывущие уже под ними деревья и фонтаны версальского парка и плюхается вместе со своим живым багажом в узкий закуток между высокой чугунной решеткой и торцом какого-то здания.
Здесь, слева от приотворенной двери, откуда выпадает полоска яркого света и доносятся взрывы грубого пьяного хохота, стоит узкая скамейка. А на скамейке — она: голубая, фетровая, с белыми перьями…
В полном восторге Фило хватает свое сокровище и тут же нахлобучивает на голову.
— Все в порядке! Теперь можно идти.
Но черт с невозмутимым видом заявляет, что как раз этого-то и нельзя:
— Неудачная посадочка, мсье. Попасть отсюда во дворец можно только через караулку.
При слове «караулка» у Фило начинает сосать под ложечкой. Свидание с версальской стражей в его расчеты явно не входит.
— Но разве мы не можем взлететь? — спрашивает он разнесчастным голосом.
— Увы, мсье! Взлетная площадка не та. Сами видите. Слишком узка.
— Что же делать?
— Ждать, очевидно. Ждать, пока мушкетеры его величества не упьются окончательно.
Делать нечего — все трое покорно усаживаются на скамейку и начинают прислушиваться к тому, что происходит за дверью караульного помещения.
А происходит там нечто, филоматикам не слишком понятное.
— Ставлю на Луи! — рявкает один голосина.
— А я — на лилию! — вторит другой, чуть поделикатнее.
После этого раздается какой-то подпрыгивающий металлический звон, за которым следует двухголосный вопль, бульканье жидкости и оловянный стук сдвинутых стаканов, сопровождаемый тостом либо за здоровье Луи, либо во здравие лилии.
Фило собирается уже спросить, что сей сон означает, но тут караульные принимаются горланить какую-то песню, скорее всего балладу, и профессиональный интерес заставляет нашего филолога отказаться от своего намерения.
А баллада и впрямь занятная, даже поучительная (впоследствии Фило опубликует ее в своем сборнике «Никому не известные песни и баллады XVII столетия»):
Жил-был игрок,
Он был далек
От всяческой науки.
Любой урок
Ему не впрок —
Ему б монетку в руки!
Что в жертву рок
Его обрек,
Не мог он знать заране…
Один бросок,
Другой бросок —
И выигрыш в кармане!
Приходит срок,
И наутек
Пускается удача.
Смотри, игрок,
Тебя порок
Прикончит, не иначе!
Седой висок,
Слепой зрачок,
Дрожит в руке монета…
Один бросок,
Другой бросок —
И выигрыша нету!
После этого незачем, естественно, спрашивать, что происходит в караулке: и так ясно, что там играют в монетку. В ту самую, упомянутую Паскалем на улице Сен-Мишель, игру, которая у нас известна под названием орлянки, иначе «орла или решки». Теперь же ей скорее подходит название бурбонки, так как на монете, которой пользуются стражники, судя по всему, с одной стороны изображен Луи — Людовик XIV, а с другой — герб Бурбонов: лилия.
Но тут караульные, которым, видно, надоело подбрасывать монетку по одному разу, решают усложнить задачу.
— Давай вот что, — предлагает один. — Будем бросать по че-чи… ой!.. по четыре раза каждый, а выигрывает тот, у кого три раза из чечи… ой!.. из четырех выпадет Луи… Только, чур, не плуто-ва-а-а-ать! Идет?
— Нничего пподобного, — не соглашается другой, еще более пьяный. — Ттак дело не ппойдет. Ддавай бросать по ввосьми раз, и у кого ввыпадет Луи ппп… пять раз, ттот и забирай все деньги…
— Да ты что? — протестует первый. — Бросать нам так до второго пришествия! Давай по чечи…
Тут они начинают галдеть в два голоса разом (слушай не слушай, все равно ничего не разберешь!), и Фило спрашивает у Мате, кто из караульных, по его мнению, прав. Но тот говорит, что правы оба. Ведь вероятности выпадения что из восьми по пяти, что из четырех по три раза почти одинаковы. Вот если бы игроки условились, что при восьми бросках должен выпасть только один Луи, а то и вовсе ни одного, тут уж вероятность и вправду сильно уменьшится.
— Давайте разберемся, — предлагает Асмодей. — Только будем уж называть не Луи и лилия, а орел и решка. Где ваш блокнот, мсье Мате? Надеюсь, света из двери нам будет достаточно.
— Прибегнем к буквенным обозначениям, — предлагает тот, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. — Орел — О, решка — Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.
— Разумеется, мсье, — поддакивает бес. — Недаром французский математик девятнадцатого века Жозеф Бертран когда-нибудь остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать… пардон, я хотел сказать, ей все равно, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы, и это обстоятельство имеет немаловажное значение в теории вероятностей.
— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и PP. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2 ОР. Ибо ОР + РО = 2 ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)2 = О2+ 2ОР + P2, а это и есть OO + 2ОР + PP.
— Само собой! — важно кивает Фило.
— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:
OOO, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.
Преобразуем это хозяйство тем же способом: OOO, 3OOP, 3OPP, РРР. И снова (О + Р)3= О3 + 3O2Р + 3ОР2 + Р3. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О + Р)4 = О4 + 4O3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом О + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших равенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов представляет собой общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события есть отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша (р) в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.
— Все это очень хорошо, — мнется Фило, — но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, — что тогда?
— Хороший вопрос, — одобряет Асмодеи. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени n.
— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(О + Р)0 = 1,
(О + Р)1 = О + Р,
(О + Р)2 = O2 + 2OР + P2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р + ЗОР2 + Р3,
(О + P)4 = О4 + 4O3Р + 6O2P2 + 4OР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
— Ой, — изумляется Фило, — ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
— Умница! — одобрительно зыркает на него Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…
— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.
— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс,[63]который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.
Фило озабоченно хмурится.
— Бином Ньютона… Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, — декламирует он себе под нос. — Кажется, в десятом классе…
— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…
— От французского «комбинезон» — «сочетание», — поясняет Асмодей.
— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два — C52. А в общем виде число сочетаний из n предметов по k — Cnk. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, — чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
(О + Р)n = On + Cn1On-1P + Cn2On-2P2 + Cn3On-3P3 + … + Оn-kPk + … + Рn.
— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.
— Могли бы и не спрашивать! Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,
Мате хочет еще напомнить, что 2n, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает на полуслове и начинает прислушиваться. Вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки теперь доносятся совсем другие, довольно-таки устрашающие звуки.
— По-моему, это храп, — говорит он почему-то шепотом, хотя как раз сейчас опасаться, казалось бы, нечего.
— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.
— Так что же мы здесь сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.
И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в сад.