— Ладно, ладно, — примирительно проворчал Мате, — все уже давно подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен
1,368808107853.
Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!
Мате усмехнулся:
— Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные…
— Что вы имеете в виду?
Но Мате, которому всегда нравилось разжигать любопытство приятеля, пропустил вопрос мимо ушей.
— Налить вам еще кофе? — спросил он самым светским тоном.
— Конечно, налить. Но вы не ответили на…
— Берите, пожалуйста, сахар.
— Нет, это, наконец, невежливо! — вспылил донельзя заинтригованный гость. — Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил…
— Успокойтесь, заслужили! — сжалился наконец Мате. — Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма?
— Вы что, издеваетесь?
— Тогда придется вас просветить, потому что, не зная теоремы Ферма, вы ничего не поймете.
И Мате стал рассказывать.
Краса и гордость французской математики, Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему сделать множество замечательных открытий и оставить громадное математическое наследие, немалое место в котором занимает так называемая великая теорема Ферма.
Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось никому. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается?
|
|
В математике всегда можно подобрать таких три целых числа, чтобы сумма квадратов двух из них равнялась квадрату третьего. Например, 32 + 42= 52. Или 52 + 122 = 132. Таких числовых троек бесконечно много. Но нельзя, оказывается, подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Нельзя это сделать ни для четвертой, ни для пятой — словом, вообще ни для какой степени, если она больше двух. Иначе говоря,
хn + уn ≠ zn, если n > 2
Ферма записал эту теорему на полях «Арифметики» Диофанта[35]и уверял, что доказал ее. Но найти его доказательство так и не удалось. Остается предположить, что если оно вправду было, то Ферма сам уничтожил его, обнаружив в нем ошибку…
С тех пор вот уже триста лет над теоремой бьются многие математики, великие и невеликие, молодые и старые, профессиональные и самодеятельные. Некоторым удалось доказать ее для отдельных или, как у нас говорят, частных случаев, однако общее доказательство по-прежнему остается неуловимым.
Иногда, правда, интерес к теореме несколько ослабевает, но довольно малой искры, чтобы заставить его вспыхнуть с новой силой. Были времена, когда увлечение теоремой Ферма превращалось в настоящий свирепый психоз…
— Не психоз, а ферманьячество, — скаламбурил Фило. — Но я, право, не понимаю, при чем тут Фибоначчи?
— До вчерашнего дня я сам этого не знал… Зато сегодня!..
Но тут, в тот самый момент, когда любопытство Фило достигло крайнего напряжения, сердито зарычал Буль, и Мате прервал свой рассказ на самом интересном месте.
|
|
— Кажется, к нам заявились незваные гости, — сказал он. — Буль всегда их загодя чувствует.
И правда, в ту же секунду раздался звонок. Пес тотчас направился к двери. Мате, естественно, последовал за ним, и любопытный филолог остался один на один со своим взбудораженным воображением.
ФИЛО ГАДАЕТ
«Интересно, кто это пришел?» — думал он, ожидая, что вот-вот появится Мате в сопровождении посетителя.
Но никто почему-то не приходил.
Прислушиваясь к возбужденным голосам в коридоре, Фило от нечего делать рассматривал большую, давно не ремонтированную комнату, забитую книгами и старой разнородной мебелью. Внезапно он подумал, что Мате, в сущности, никогда о себе не рассказывал, и постарался представить себе его жизнь.
Ему почему-то казалось, что друг его рано осиротел и воспитывался у какой-нибудь тетки, обязательно старой девы, доброй, но страшно безалаберной и мечтательной, а сверх того — страстной любительницы книг. Все свое свободное время она проводила за чтением, лежа на той вон облезлой кушетке, а иногда, по вечерам, когда маленький Мате готовил уроки, раскладывала пасьянс, дымя папиросой и роняя серые столбики пепла на старинные, замусоленные карты.
Время от времени в комнату въезжал очередной полуразвалившийся шкаф или просиженное кресло: это соседи купили новую мебель и попросили приютить прежнюю — ненадолго, конечно, пока не продастся… Тетка беспечно на это соглашалась, но старые вещи почти никогда не продавались, и, привыкнув к ним, она переставала их замечать.
|
|
Готовить она так и не научилась, и Мате всегда ел пережаренные котлеты и недоваренную картошку. Единственное, что она умела по-настоящему, так это варить кофе, что и передала своему племяннику вместе с полнейшим пренебрежением к житейским удобствам и немаловажной способностью безоглядно предаваться любимому занятию…
Кончив фантазировать, Фило нетерпеливо поглядел на дверь, потом снова перевел глаза на кушетку и вдруг обнаружил, что вместо воображаемой тетки на ней лежит отнюдь не воображаемая книга. По привычке старого книголюба, он перелистал ее, сразу определил, что книга библиотечная, и тут в глаза ему бросилось знакомое имя…
…Он оторвался от чтения только тогда, когда услыхал шаги за дверью, и едва успел положить книгу на место, как в комнату вошли Мате и Буль.
— Где это вас носит? — спросил Фило с самым невинным видом.
— А, ерунда! — отмахнулся Мате. — Я, видите ли, имел неосторожность написать одну математическую статью, где рассказал, между прочим, о своем юношеском увлечении теоремой Ферма. Статью напечатали в журнале, и с тех пор ко мне то и дело врываются какие-то взъерошенные субъекты, убежденные, что им удалось поймать за хвост неуловимое доказательство…
— Вы говорите так, точно доказать теорему Ферма и в самом деле абсолютно невозможно.[36]
— Если и возможно, то, во всяком случае, не теми доморощенными способами, которыми пользуются мои посетители. У каждого из них обязательно обнаруживается какая-нибудь, притом самая элементарная ошибка. Но вернемся все же к Фибоначчи. Если не ошибаюсь, меня прервали как раз на том месте, когда я собирался объяснить…
— Нет, — сказал Фило. — Объяснять ничего не надо. Я сам отгадаю.
— Это как же?
— Обыкновенно. По картам.
Мате возмущенно поднял плечи. Неужели есть еще люди, которые верят в подобную чепуху! Но Фило настаивал на своем. Когда-то, сказал он, одна старая цыганка научила его гадать на картах, и теперь ему пришло в голову проверить свое искусство.
Недовольно поджав губы, Мате подал ему деревянную полированную шкатулочку, где, отделенные друг от друга тонкой перегородкой, лежали две старые карточные колоды. «Теткины!» — отметил про себя Фило и, быстро разбросав карты на исколотом циркулем буле, стал глубокомысленно изучать их.
— Тэк-с… Прежде всего, что у нас справа? Справа у нас червонный валет и семерка бубен, стало быть, сердечные хлопоты. Сейчас я скажу вам, что вы подумали, когда потеряли из виду мессера Леонардо. Вы подумали, что знаете о нем очень мало. Так ведь?
Мате молча кивнул.
— Вот видите, карты никогда не лгут. Поехали дальше. В головах у нас туз пик и девятка треф, иначе говоря, казенный дом и нечаянный интерес. А это говорит о том, что, вернувшись в Москву, вы отправились в научную библиотеку, долго рылись в каталоге и взяли наконец на дом курс лекций по истории математики…
— Да, да, именно так, — подтвердил Мате, все более изумляясь. — Лекции по истории математики, том второй…
— Помолчите, — строго остановил его Фило. — Кто из нас гадалка, я или вы? Теперь поглядим, что у нас на сердце, слева. Ага, шестерка бубен и король червей. Из этого вытекает, что, придя домой, вы открыли главу, посвященную Фибоначчи, и узнали из нее кучу интересного: между прочим, и то, что мессер Леонардо сдержал свое слово и действительно записал для императора логический ход своих решений. И так как задач было много больше, чем нам с вами удалось услышать, у него получилась целая книга… Нет, вру, целых две книги. Первая называется «Либер квадраторум», что в переводе с латинского означает «Книга квадратов», вторая — «Флос», что опять-таки по-латыни значит «Цветок», а в переносном смысле — цветок красноречия.
— Скажите пожалуйста! — продолжал восторгаться Мате. — Какая точность!
— То ли еще будет! — хвастливо пообещал Фило. — Видите, что у вас в ногах? Король треф и король бубен. А это значит, что, читая описание «Книги квадратов», вы наткнулись на нечто совершенно удивительное: среди вороха задач вам попалось выражение х 4 + у4 ≠ z4. Оказывается, мессер Леонардо пытался доказать, что сумма четвертых степеней двух чисел не может быть равна четвертой степени третьего числа, и, таким образом, опередил Ферма почти на пять столетий. Ну, что скажете? Верно я гадаю?
— Грандиозно! — медленно произнес Мате, глядя на Фило широко раскрытыми глазами. — Просто ума не приложу, как вы умудрились прочитать пятьдесят страниц мелкого текста за каких-нибудь пятнадцать — двадцать минут?
Фило не выдержал — расхохотался!
— Секрет изобретателя. А если говорить серьезно — природная способность. У меня фотографическая память. Схватываю всю страницу сразу.
— Счастливчик! — позавидовал Мате. — Жаль только, что на прочитанных вами страницах кое-чего не хватает. Вы знаете лишь то, что Леонардо рассматривал частный случай теоремы Ферма и допустил в своих рассуждениях некоторый просчет. Но вам не известно, что тот же случай рассматривал сам Ферма и нашел доказательство абсолютно верное. Так что приоритет все-таки остается за ним. Впрочем, кто знает, не умри Леонардо так рано, ему, быть может, удалось бы доказать теорему Ферма не только для частного случая, но и в общем виде. И называлась бы она великой теоремой Фибоначчи.
— Не умри Леонардо так рано… — подхватил Фило. — Вы говорите как раз о том, что я не успел дочитать. Когда же это произошло?
— Предположительно в 1228 году.
— Год крестового похода, возглавляемого Фридрихом Вторым… Так, Фибоначчи убили на войне?
— Вполне возможно. Только вот на какой? Как раз в том же 1228 году в Италии вновь обострилась гражданская война между гвельфами и гибеллинами. Так что Фибоначчи мог запросто погибнуть и не выезжая из Пизы… Но все это, к сожалению, одни лишь догадки. Смерть Фибоначчи для нас также таинственна, как и его жизнь. В сущности, что мы о нем знаем? Почти ничего.
— Неправда, — живо возразил Фило. — Нам известно самое главное: его математические труды. Его неповторимое математическое мышление…
— Все это касается Леонардо-математика. Но что мы знаем о Леонардо-человеке?
— Не так уж мало, — возразил Фило. — Прежде всего, что он был скромен и благороден. Согласитесь, человек самовлюбленный и грубый вряд ли станет называть себя таким нелестным прозвищем. А этот… Когда я думаю о мессере Леонардо, мне вспоминаются бессмертные строки Пушкина: «Веленью божию, о Муза, будь послушна! Обиды не страшась, не требуя венца, хвалу и клевету приемли равнодушно и не оспоривай глупца».
Стихи оказались до того к месту, что Мате ахнул. Можно подумать, Пушкин написал их не о себе, а о Фибоначчи!
— И о себе, и о Фибоначчи, — сказал Фило. — И вообще о всяком одаренном человеке, который твердо верит в свое призвание и выполняет свой долг перед человечеством, несмотря ни на что: вопреки обидам и непониманию, не требуя похвал и наград. Как видите, обобщения свойственны не только математике…
— Вы правы, — взволнованно произнес Мате. — Можно смело сказать, что Пушкин в немногих, но точных словах обобщил те нравственные принципы, которым должен следовать всякий истинный талант. Принципы, которых, судя по всему, придерживался и Фибоначчи. Да, Фибоначчи делал свое дело, несмотря ни на что. И уж он-то перед человечеством в долгу не остался! Хотя бы потому, что подарил ему свои числа…
— Но почему же числа — в первую очередь? Неужели этот числовой ряд — самое ценное из всего, добытого математической музой Леонардо?
— Вы задали интересный вопрос, но мне трудно ответить на него односложно…
— Кто ж вам мешает отвечать многосложно? — улыбнулся Фило. — У меня времени достаточно.
— Тогда пеняйте на себя.
ЧИСЛА, ЧИСЛА, ЧИСЛА…
— Есть такая книга, — начал Мате, — «Диалоги о математике». Написал ее выдающийся венгерский математик нашего века Альфред Реньи. Форма диалога выбрана им не случайно, как не случайно, вероятно, обратился к ней когда-то Галилео Галилей.
Жанр диалога зародился в глубокой древности. Диалоги, как вы знаете, писал Эратосфен, который излагал мысли, приписываемые Платону. А до Эратосфена диалоги писал сам Платон, излагавший мысли своего великого учителя Сократа.
У Сократа была особая манера беседовать с учениками. Он задавал им ряд искусно поставленных вопросов и подводил таким образом к правильному выводу. Приемы и дух сократовского диалога, дошедшие до нас в передаче Платона, производят огромное впечатление. К сожалению, это особое искусство древних — подводить простыми вопросами к сложной сути предмета — в наше время не часто используется. И Реньи хорошо сделал, обратившись к сократовскому диалогу, когда захотел показать читателям сущность такой глубокой науки, как математика, — ее особенности, ее принципиальное, резкое отличие от других наук.
— Любопытно, — сказал Фило. — Всегда думал, что математика такая же наука, как и все другие, а она, оказывается, какая-то особенная…
— Очень даже особенная, а Реньи показал это на весьма убедительных примерах. Врач имеет дело с реально существующей болезнью. Астроном изучает действительно существующие звезды. Геолог исследует самые что ни на есть подлинные земные недра. Но что изучает математик? Он изучает числа и геометрические формы, которые существуют только в его воображении.
— Позвольте, — вскинулся Фило, — как же так? Послушать вашего Реньи, так и Фибоначчи считал воображаемых кроликов. А они, между прочим, были настоящие. Уж мы-то с вами знаем!
Мате невольно взглянул на обкусанные и кое-как заштопанные обшлага своих джинсов.
— Да, — согласился он не без юмора, — кролики, конечно, были настоящие. Но вам не кажется, что вы смешиваете совершенно разные вещи? Ведь речь идет не о самих кроликах, а о числах, которыми выражена закономерность их размножения.
Фило озадаченно поморгал. А ведь правда! Выходит, кролики кроликами, а числа сами по себе?
— Вот именно, сами по себе! Кроликов, которых подсчитывал Фибоначчи, давным-давно след простыл, а порожденныйими ряд чисел продолжает жить своей независимой жизнью, действовать, приносить людям пользу…
— Удивительно!
— Если вдуматься, очень! Математика вообще удивительная наука. Между прочим, помимо других достоинств, есть у нее и то, что она способна выражать самые разные явления с помощью чисел или буквенных обозначений (что, впрочем, одно и то же). Способность эта, которую отмечали многие известнейшие ученые — такие, например, как Галилей, Лобачевский, Эйнштейн, — сделала математику необходимой буквально во всех отраслях знаний. Чем дальше, тем больше становится она универсальным языком, на котором говорят самые разные науки, и, кстати сказать, не только точные. Вы уже знаете, что Буль выражал алгеброй понятия логические. А в наши дни математику используют даже в литературоведении и языкознании…
Фило покаянно вздохнул. До чего же он отстал от жизни!
— Но не будем все же забывать, — продолжал Мате, — что математика — наука обширная. Задачи ее чрезвычайно разнообразны. Наивно было бы думать, что она нужна только физикам, химикам, астрономам, биологам и литературоведам. Математика в первую очередь необходима самим математикам, которые рассматривают ее не только как подспорье для других наук, но прежде всего как самостоятельный предмет изучения.
— Вы хотите сказать, что есть математика прикладная, а есть — отвлеченная, то есть теоретическая?
— Совершенно правильно, — оживленно закивал Мате. — И меня лично занимает именно вторая, отвлеченная, или, как говорят, чистая математика. Точнее, один из ее разделов: наука о числе. А еще точнее — целые числа.
— Значит, числа, как я понимаю, интересуют вас сами по себе, независимо от того, что они выражают?
— Да, да и в третий раз да! Числами я заболел с юности. С того самого дня, как прочитал книгу чудесного русского математика Александра Васильевича Васильева. Она называется «Целое число». Теперь, после того как вы научили меня любить стихи, мне не стыдно назвать эту книгу поэмой. Да, то была настоящая поэма, которая ввела меня в необычайный мир чисел, раскрыла их красоту, научила отыскивать скрытые числовые взаимосвязи… С тех пор все свое свободное время я отдавал поискам числовых закономерностей. Они преследовали меня повсюду. Я обнаруживал их в номерах телефонов, на вывесках сберкасс, на номерных знаках автомобилей. Увидав какое-нибудь число, я сейчас же начинал производить с ним всевозможные манипуляции: складывал цифры, перемножал их, менял местами, сопоставлял первые с последними и всегда находил что-нибудь занятное…
Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это увлечение арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой практической задачи, никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но потом, много лет спустя, какой-то из моих треугольников неожиданно пригодился для решения одного из видов дифференциальных уравнений. Другой, изобретенный мною, треугольник оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала.
— Вот даже как! — произнес Фило с невольной робостью. — Остается пожалеть, что вы забросили это интересное занятие…
— Забросил?! — Мате демонически расхохотался. — Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?
— Сделайте одолжение!
— Тогда смотрите сюда. — Мате указал на блокнот. — Перед вами ряд чисел: 1 2 5 13 34 89. Вам он о чем-нибудь говорит?
Фило наморщил лоб.
— Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем…
— Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите также внимание на то, что этот частичный ряд тоже имеет свою собственную закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме всех предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено…
— Ну-ка, проверим! — сказал Фило. — Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 x 2) = 34. Но где же все-таки треугольник? Я его не вижу!
— Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
— Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!
Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда.
Далее, составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
2 5 13 34
3 8 21
5 13
— Вы, конечно, понимаете, — добавил Мате, — что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.
Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.
— А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, — признался Фило.
— Погодите, я еще не кончил, — остановил его Мате. — Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.
— Зачем?
— Сейчас поймете.
Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.
1 1
1 2 3
2 3 5 10
3 5 8 13 29
5 8 13 21 34 81
8 13 21 34 55 89 220
13 21 34 55 89 144 233 589
21 34 55 89 144 233 377 610 1563
— Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, — сказал он.
— Обратил, — подтвердил Фило. — А во-вторых?
— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.
1 = 1 (1 слагаемое)
3 = 3 (1 слагаемое)
10 = 3 + 7 (2 слагаемых)
29 = 3 + 7 + 19 (3 слагаемых)
81 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 (5 слагаемых)
220 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 71 (8 слагаемых)
589 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 (13 слагаемых)
1563 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 131 + 137 + 173 (21 слагаемое)
— Чуете? — спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.
Но Фило лишь виновато хлопал глазами.
— Эх вы! — пристыдил его Мате. — Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.
— Но это же замечательное открытие! — бурно обрадовался Фило.
— До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.
— Так найдите общее доказательство.
— Только и всего? — Мате язвительно осклабился. — Попробуйте-ка сами!
— Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, — отшутился Фило. — К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.
— Наоборот! — энергично запротестовал Мате. — Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь…
Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?
— Ладно! — смилостивился Мате. — Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
— Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет — через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных — на 3 у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3 у = 49.
— Ставлю вам пять с плюсом, — сказал Мате. — Уравнение отличное. Но как вы его решите?
Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!
— Не беда, — утешил его Мате. — Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1 + 3у = 49. Отсюда 3 у = 44, а у = 44/3
— Простите, 44/3 не целое число…
— Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3 у = 49. Отсюда 3 у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.
— Браво! — ликовал Фило. — Задача решена!
— Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?
— Сейчас узнаем. 5 х 5 + 3 у = 49. Отсюда 2у = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.
— Как видите.
— Поискать, что ли, другие?
И Фило принялся за поиски. Перебрав варианты х = 3, 4, 6 и 7, он убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум прибавилось еще одно, третье решение. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило собрался было подставить х = 10, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49. Значит, дальнейшие поиски бессмысленны.
— Итак, — подытожил он, — мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, у = 13; 2) х = 5, у = 8; 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.
Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.
— Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, — разъяснил Мате. — Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.
— Не понимаю, — надулся Фило, — кому нужны уравнения с несколькими ответами?
— Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии! Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.
— Но для чего все-таки нужны такие уравнения? Где они используются?
— Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства — всюду, где мы имеем дело только с целыми числами. Вот, например, может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?
— Понимаю, понимаю, — сдался Фило. — Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от первоначальной темы нашего разговора? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения…
— Это вы называете «ни с того ни с сего»? Да ведь между ними самая прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений! Она предлагает указать способ, с помощью которого после конечного числа операций возможно установить, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах.
— Вот оно что! — сообразил Фило. — Стало быть, именно этот способ и нашел Юрий Матиясевич?
Мате замялся.
— Жаль вас огорчать, но все было как раз наоборот. Матиясевич разрешил десятую проблему в отрицательном смысле. Он доказал, что такого способа в общем виде не существует.
— Ууу! — разочарованно протянул Фило. — Так десятая проблема Гильберта оказалась бесполезной?
Мате сердито замахал руками. Что за чепуха! Во-первых, метод, который применил Матиясевич, разрешая десятую проблему, представляет огромную ценность для математики уже сам по себе. Во-вторых, вывод его избавил ученых от дальнейших поисков в этом направлении. И наконец, в-третьих, — десятая проблема Гильберта привела к возникновению новой ветви математики, которая называется теорией алгоритмов. А это такое… такое…
Но тут раздался взволнованный, срывающийся голос Фило:
— Мате, Мате! Взгляните на результаты нашего уравнения! Два, три, пять, восемь, тринадцать… Это же числа Фибоначчи!
Мате оторопел. Что за чудеса! Как он сразу не заметил? Впрочем… впрочем, может ведь оказаться, что произошло случайное совпадение. Попробовать разве проверить, какие решения получаются при других суммах? Вот хоть для четырнадцати копеек.
Он быстро перебрал все возможные варианты и нашел, что уравнение имеет всего-навсего одно решение: х = 1, у = 3.
— Снова числа Фибоначчи! — определил Фило. — Возьмем еще какую-нибудь сумму. Двадцать одну копейку!
На этот раз тоже получилось одно решение, и опять-таки в числах Фибоначчи: х = 3, у = 2.
Мате испытующе покосился на друга.
— Ну, — сказал он насмешливо, — почему вы не кричите, что мы с вами сделали великое открытие?
Фило плутовато погрозил ему пальцем. Теперь он стреляный воробей — знает, что три частных случая ни о чем еще не говорят!
— А что будем делать с поисками общей закономерности? — продолжал иронизировать Мате. — Снова спихнем на мессера Леонардо?