ТЕМА 4. Решение систем нелинейных уравнений

Блок-схема интерполяции многочленом Лагранжа

Пример. По заданным точкам: x_i=-1 0 1; y_i=1 0 1. Определить интерполяционный многочлен L(x).

L(x)=x²

ТЕМА 2. Приближение функции.Аппроксимация. Метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть имеются результаты некоторого эксперимента в виде массива значений независимой переменной x_i и зависимой переменной y_i_,. где i=0,1,2,…,n

Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a₀,a₁,…,a_m), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a₀,a₁,a₂,…,a_m, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия

Решаем задачу в классе полиномов и функцию f (x,a₀,a₁,…,a_m) определим как полином степени m вида: Надо найти такие значения параметров вектора а, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение. Вывод формулы для определения параметров не представлен. Приводим окончательную формулу вычисления вектора параметров в матричном виде a= inv (Ф’*Ф) *Ф’*y

Рассмотрим применение расчета для функции (m=2) вида

Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a₀, a₁, a₂:

Для удобства формирования матрицы коэффициентов и столбца свободных членов введем матрицу элементы которой определяются через значения независимой переменной x_i, i=0,1,2,…,n так как

В общем случае количество строк в матрице равно количеству точек, а количество столбцов равно количеству параметров, где строка состоит из значений частных производных от функции f(x,a₀,a₁,…,a_m) по соответствующему параметру.

a= inv(Ф’*Ф) *Ф’*y

Далее представлена блок-схема алгоритма МНК и числовой расчет для полиномиальной функции m=1, n=4 для которой критерий рассогласования оказался равным R=2.3

Блок-схема аппроксимации.

Параллельно(справа) приведен числовой расчет.

Begin

End

m,n,x,y

a,dy,r

a=inv(F’*F)*F’*y

i=1 шаг 1 до n

j=1 шаг 1 до m

F(i,j)=x(i)^(j-1)

yr=F*a; dy=y-yr

r=dy’*dy

Пример. x_i= -1 0 1 2; y_i= 2 1 2 4.

ТЕМА 3. Методы численного интегрирования

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). f=inline(‘<функция>'); Требуется определить значение определенного интеграла которое численно равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками: x₀=a, x₁= a+h, x₂=x₁+h,…,x_i=x_i–1+h,…,x_n=b, – шаг разбиения. Значение функции f(x) в точках (рис.3.1) разбиения x_i обозначим через y_i.

x₀=a

x₁

x₃

x₂

x_n=b

f(x)

x_i

x_n–1

x_i+1

· · ·

y₀

y₁

y₂

y₃

y_i–1

y_i

y_i+1

y_n–1

y_n

s₀

s₁

s₂

s_n-1

s_i

x_i–1

s_i-1

Рис.3.1. Интегрирование. Разбиение на равные отрезки.

Ниже приведена совокупность команд для построения графика функции

f=inline(‘<функция>');

x=a:h:b;

plot(x,f(x),'k-')

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h: S = s₀+s₁+s₂+…s_i+…..+s_n–1 Произвольную площадь s_i можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [x_i;x_i+1] от более простой функции φ_i(x), которой заменим реальную функцию f(x): Вид функции φ_i(x) будет определять название метода.

Методы прямоугольников. Значение функции φi(x) на отрезке [x_i;x_i+1] принимается константой

Метод прямоугольников вперед. Для функции φ_i(x) = y_i значения элементарной s_i и общей S площади можно вычислить как: , тогда

x=a:h:b-h;

S=h*sum(f(x));

Метод прямоугольников назад. Аналогично, можно вычислить значение S ,

x=a+h:h:b;

S=h*sum(f(x));

Метод прямоугольников в среднем. Тогда значения элементарной s_i и общей S площади можно вычислить как

x=a+h/2:h:b;

S=h*sum(f(x));

Метод трапеций. Функцию φ_i(x) будем определять как линейную на отрезке [x_i;x_i+1], т.е. ее график должен проходить через две смежные точки (x_i,y_i) и (x_i+1,y_i+1). Функцию φ_i(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам (x_i,y_i) и (x_i+1,y_i+1): тогда значения элементарной s_i площади можно вычислить как:

x=a:h:b-h; S=h*sum((f(x)+f(x+h))/2);

x=a:h:b; S=trapz(x,f(x));

x=a:h:b; S=h*trapz(f(x));

Метод Симпсона. Определим точку x_i+½ = x_i+½·h в середине элементарного отрезка [x_i;x_i+1] и значение функции в этой точке y_i+½ Функцию φ_i(x) будем определять как квадратичную на отрезке [x_i;x_i+1], т.е. её график должен проходить через три смежные точки (x_i,y_i),(x_i+½, y_i+½) и (x_i+1,y_i+1). Функцию φ_i(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам x_i, x_i+½ и x_i+1:

Тогда значения элементарной s_i площади можно вычислить как:

Тогда значения общей S площади можно записать как:

Вычисление в МАТЛАБе

x=a+h:h:b-h; xs=a+h/2:h:b; S=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(f(x))+4*sum(f(xs)));

S=quad(f,a,b);

ТЕМА 4. Решение систем нелинейных уравнений

Система нелинейных уравнений (СНУ). В общем случае систему нелинейных уравнений можно записать как: или Решением СНУ является такой вектор при подстановке которого в систему последняя обращается в тождество.

Методы простых итераций. При прямом подходе довольно сложно получить итерационную формулу получения эквивалентной системы нелинейных уравнений, позволяющую получить решение СНУ. Поэтому в основном используется метод Ньтона- Рафсона.

Метод Ньютона-Рафсона. Пусть известно некоторое приближение к решению Запишем исходную систему в виде где Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами.