Двойные числовые ряды
Кратные ряды.
Кратным рядом называется выражение
, 
C (1)
где 
- так называемый мультииндекс.
Если 
- тоже мультииндекс, то неравенство 
означает, что 
, а неравенство 
означает, что 
.
Выражения
называются частичными суммами ряда (1).
Если существует предел, называемый суммой ряда (1)
,
то ряд (1) называется сходящимся, если 
.
В теории сходимости кратных рядов есть моменты, отличающие эту теорию от теории сходимости обычных рядов. Все эти различия можно проиллюстрировать на двойных рядах. Для того, чтобы избежать громоздких выкладок, в дальнейшем ограничимся двойными рядами.
Сходимость двойных рядов.
Рассмотрим двойной ряд
, 
С (2)
Элементы этого ряда можно расположить в виде бесконечной прямоугольной матрицы
(
)
Такого рода матрицы называют матрицами с двумя входами.
Частными суммами ряда (2) мы называем выражения
Если существует предел, называемый суммой ряда (2),
,
То ряд (2) называется сходящимся, если и расходящимся в противном случае.
На двойные ряды легко переносятся два свойства обычных, однократных рядов:
1) Если ряд (2) сходится и имеет сумму 
, а 
, то ряд
Также сходится и его сумма равна 
.
2) Сумма (или разность) двух сходящихся двойных рядов с суммами 
и 
соответственно есть снова сходящийся ряд с суммой 
(или 
).
Доказательства этих свойств предоставляю сделать самим слушателям.
Точно так же сохраняется необходимое условие сходимости двойного ряда: если ряд (2) сходится, то его общий член стремится к нулю при 
и 
, т.е.
.
Это сразу видно из равенства
.
Однако из сходимости двойного ряда (2) не следует, что
, 
Например, рассмотрим матрицу 
Для ряда, составленного из элементов этой матрицы имеем 
при 
и 
, т.е. ряд сходится и сумма его равна нулю. В то же время видно, что
, 
, 
.
Можно построить так же примеры таких матриц, что при некоторых фиксированных 
,
xотя ряд (2) сходится (см. матрицу 
).
Такая патология структуры сходящихся двойных рядов приводит к тому, что наряду с их обычной сходимостью целесообразно рассматривать сходимость с различными ограничениями. Чаще всего рассматривают следующие два вида сходимости: ограниченную и регулярную.
- Ряд (2) называется ограниченно сходящимся, если он сходится и все его частные суммы ограничены.
- Рассмотрим наряду с рядом (2) так называемые повторные ряды
и 
(3)
Если вместе с рядом (2) сходятся оба ряда (3), то ряд (2) называется регулярно сходящимся.
Лемма 1. Если ряд (2) сходится регулярно к сумме , то оба повторных ряда (3) сходятся к той же сумме.
Доказательство. Введём обозначения
, 
, 
, 
Имеем следующее равенство:
,
или
.
В силу регулярной сходимости ряда (2), существует натуральное число 
такое, что
, 
,
где 
- любое наперёд заданное сколь угодно малое число. Зафиксировав , выберем числа 
так, чтобы
(
; 
; 
)
Это можно сделать в силу регулярной сходимости ряда (2). Получим тогда, что
, если , .
Аналогично из равенства
Будем иметь
для 
, 
Следовательно, 
, ч. т. д.
Замечание. Из сходимости ряда (2) не следует сходимость повторных рядов (3), что видно из предыдущего примера, т. е. не следует регулярная сходимость ряда (2).
Обратно: из сходимости повторных рядов и равенства 
не следует сходимость ряда (2). Действительно, если взять матрицу
,
то 
, в то время как 
не существует, т. к. 
принимает бесконечно много раз значения 0 и 1.
Однако можно утверждать следующее:
Теорема 1. Если сходится двойной ряд (2) и сходятся ряды по строкам, т. е. 
сходятся ряды 
, то сходится повторный ряд 
и имеет ту же сумму , что и двойной ряд.
Доказательство теоремы 1 вытекает из основной теоремы о связи между повторными и двойными пределами для функции двух переменных.
Теорема 2. (о повторных пределах). Пусть функция 
определена на множестве 
, 
и 
– точки сгущения множеств 
и 
соответственно, им не принадлежащие. Если
1) существует (конечный или нет) двойной предел
и 2) при любом 
существует конечный простой предел по 
, то существует повторный предел
и равен двойному.
Доказательство проведём для случая конечных , и . По определению предела функции, по заданному найдётся такое 
, что
, (4)
лишь только 
и 
, причём 
, а . Фиксируем теперь 
так, чтобы выполнялось неравенство и перейдём в (4) к пределу, устремив к . Т. к. при этом, в виду условия 2) теоремы, стремится к пределу 
, то получим 
.
Вспомнив, что здесь любое число из , подчинённое условию , приходим к заключению, что, по определению предела
, ч. т. д.
Замечание. Если наряду с условиями 1) и 2) при любом существует конечный простой предел
,
то, как следует из доказанного, если и поменять ролями, существует и другой повторный предел
и равен числу : в этом случае оба повторных предела равны.
Теперь теорема 1 легко следует из этого результата. В теореме 1 роль независимых переменных играют и 
, 
, 
, а частная сумма - роль функции . Тогда по теореме о повторных пределах,
.
Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (3).
Теперь мы можем установить критерий регулярной сходимости ряда (2) – аналог критерия Коши для сходимости обычных рядов.
Теорема 3. (критерий регулярной сходимости).
Для того, чтобы ряд (2) сходился регулярно, необходимо и достаточно, чтобы для любого наперёд заданного существовало натурально число 
такое, что
(5)
для всех 
, 
и 
или .
Доказательство. 1) Необходимость. Поскольку
,
то для заданного можно найти натуральное такое, что для всех и будут выполняться неравенства
, 
, 
, 
в силу сходимости ряда (2), и, следовательно, справедливо неравенство (5).
Докажем теперь необходимость в случае, когда только или . Для этого обозначим через 
, где числа и определены в лемме 1. Теперь неравенство (5) надо доказать лишь для случая, когда либо 
, либо 
. Рассмотрим случай . Пусть - те же числа, что и в доказательстве леммы 1. Обозначим через 
натуральное число такое, что
, 
,
откуда получаем
.
Аналогично в случае можно найти натуральное число 
такое, что
, 
,
откуда получаем
.
Полагая теперь 
, получим, что имеет место неравенство (5).
2) Достаточность. Пусть для сходящегося ряда (2) имеет место (5). Требуется доказать, что ряд (2) сходится регулярно, т.е. сходятся повторные ряды (3). Предположим, что (5) выполнено для всех и , . Перейдём в левой части неравенства (5) к пределу, когда 
и 
. Получим:
, 
.
Следовательно, сходится ряд
,
и, значит, сходятся вес ряды по строкам
и, тогда сходятся и все ряды по строкам
.
Отсюда, по теореме 1 вытекает, что сходится повторный ряд
и имеет ту же сумму , что и двойной ряд (2).
Аналогично доказывается сходимость повторного ряда
,
которая вытекает из того, что (5) выполняется для всех и , .
Таким образом, ряд (2) сходится вместе с обоими повторными рядами и, значит, по определению, сходится регулярно.
Положительные ряды.
Остановимся на случае положительного ряда (2), т.е. ряда, все члены которого неотрицательны: 
.
Теорема 4. Для сходимости положительного ряда (2) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограниченны в совокупности.
Доказательство. 1) Необходимость этого утверждения почти очевидна: если ряд (2) сходится, то для любого найдётся натуральный номер такой, что 
,
так что для
.
Для конечного числа пар 
, у которых 
и 
частные суммы ограниченны некоторым числом : 
.
Наконец, если , а 
или 
, а 
, то 
или 
. В итоге, полагая 
, будем иметь для всех 
.
2) Достаточность. Пусть 
. Рассмотрим 
и покажем, что будет суммой нашего ряда. Зададим любое . По определению точной верхней грани, можно найти частную сумму 
такую, что
.
Если взять 
, то и подавно 
, т.к. возрастает по каждой переменной и . Поскольку частная сумма не превосходит , то 
для и, следовательно,
.
А это и означает, что
,
т.е. ряд (2) сходится и его сумма равна .
На основе теоремы 4 можно доказать теорему сравнения, аналогичную теореме сравнения для обычных положительных рядов.
Теорема 5. Пусть даны два положительных ряда
(А)
(В)
Если для всех пар , у которых либо , либо ( - некоторое натуральное число) выполняется неравенство 
, то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
Доказательство. Поскольку отбрасывание конечного числа начальных членов ряда с номерами и не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что 
. Обозначая частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через 
и 
, будем иметь
.
Пусть ряд (В) сходится. Тогда, по теореме 4,
.
Тогда и подавно 
и, по той же теореме 4, ряд (А) сходится.
Обратно: если ряд (А) расходится, то расходится и ряд (В), т.к. в противном случае сходился бы ряд (А), что противоречит условию.
Теорема 6. Если из трёх рядов
, 
, 
один сходится, то сходятся остальные и имеют ту же сумму.
Теорема 6 усиливает теорему 1.
Доказательство. Пусть сходится двойной ряд
.
Тогда, очевидно, для его частных сумм будет справедливо неравенство:
. (6)
Далее, для любого
. (6')
Это показывает, что ряд 
сходится при любом 
. Если 
- его сумма, то 
.
Переходя в неравенстве (6) к пределу при , получим
.
Видим, что эти суммы ограничены. Следовательно, ряд, составленный из сходится и 
.
Мы доказали, что если сходится двойной ряд, то сходится и повторный, причём его сумма 
.
Теперь предположим, что сходится ряд 
. Докажем, что тогда сходится и двойной ряд. Очевидно,
,
так что частные суммы ограничены. Поэтому на основании теоремы 4 утверждаем, что двойной ряд сходится и имеет сумму 
. Таким образом, сходимость одного из рядов влечёт сходимость другого и равенство их сумм: 
.
Теорема 7 (о связи двойного ряда и простого ряда, составленного из тех же членов).
Пусть двойной ряд с положительными членами
и простой ряд
(7)
состоят из одних и тех же членов. Тогда из сходимости одного ряда вытекает сходимость другого и равенство их сумм.
Доказательство. Предположим сначала, что двойной ряд сходится и имеет конечную сумму :
.
Возьмём произвольное натуральное число 
и составим частную сумму ряда (7):
.
Выберем теперь и так, чтобы сумма 
уже содержала в себе все элементы 
.
Тогда
.
Значит, все частные суммы 
ограничены. Поэтому ряд (7) сходится и имеет сумму
(8)
Предположим теперь, что сходится ряд (7). Возьмём произвольную частную сумму двойного ряда и найдём такое натуральное 
, чтобы все элементы частной суммы содержались среди первых элементов ряда (7). Тогда справедливо неравенство
.
Отсюда следует, что двойной ряд сходится и имеет сумму
(9)
Сопоставляя (8) и (9), имеем 
.