Пусть двойной ряд
(22)
ограниченно сходится, т. е. существует такое число , что
где
(23)
Для и
, удовлетворяющих неравенствам
рассмотрим двойной степенной ряд
(24)
Теорема 1. Если ряд (22) ограниченно сходится, то ряд (24) абсолютно сходится для всех и
таких, что
, и имеет место равенство
Доказательство. Т.к.
(25)
то в силу ограниченной сходимости ряда (22). Следовательно, для
т. е. ряд (24) абсолютно сходится. В силу (25),
.
Сходимость ряда (22) означает, что для любого
натуральные
и
такие, что
где - сумма ряда (22), причем, в силу ограниченной сходимости этого ряда,
Из очевидного тождества
имеем
откуда
.
Поскольку , то для
,
,
,
.
Следовательно,
.
Из этого неравенства следует, что и фиксированных
и
найдутся числа
такие, что при
и
будем иметь
. Отсюда следует, что
.
Утверждение теоремы 1 можно обобщить, отказавшись от сходимости ряда (22) и ограничившись сходимостью некоторых средних от частных сумм этого ряда. Пусть
(26)
т. е. - средние арифметические частных сумм ряда (22). Справедлива следующая
Теорема 2. Если последовательность ограничена числом
и существует предел
, то
.
Доказательство. Из (26) имеем (см. (25)):
,
.
Из этих неравенств следует, что ряды
,
,
сходятся абсолютно для всех .
Но тогда в силу равенства
(27)
имеем, применяя это равенство еще раз к ряду в правой части и учитывая (26)
(28)
Из (27) и (28) найдем
.
Из существования предела следует, что
(29)
а из условия ограниченности получим. Что
и, значит,
.
В силу очевидного тождества
имеем
,
где .
Суммы, стоящие в правой части этого равенства, оцениваются следующим образом
,
,
,
.
Теперь получим оценку
Если при фиксированных
и
положить
,
,
,
, то
Следовательно,
.
Замечание. Рассмотрим величины:
,
, …,
.
Если существует число такое, что
, то последовательно получаются неравенства
;
, …
,
,
из которых следует абсолютная сходимость для ,
рядов
,
,
по теореме сравнения. Действительно,
,
А каждый из полученных справа степенных рядов сходится: первый при , второй – при
, т. к. их радиус сходимости
Докажем теперь следующие обобщения теоремы 2.
Теорема 3. Если существует постоянная такая, что
и выполняется соотношение
, то
Доказательство. Пусть полином имеет вид
(члены низшей степени)
и пусть равенство
(30)
имеет место для всех натуральных и
. Покажем, что в этом случае выполняется равенство
Из очевидного равенства
(31)
найдем:
. (32)
Это делается следующим образом. Умножая равенство (31) на и суммируя по
от 0 до
, получим:
Далее, производя сдвижку индексов в последних трех суммах, получим:
На основании тождеств
,
,
,
подставляя вместо ,
,
их значения в выражения для
, получим требуемое равенство (32).
Очевидно, что
(члены низшей степени)]=
;
;
,
где ,
- полиномы относительно
и
более низших степеней.
В силу условия (30) имеем
;
;
;
.
Из этих равенств и формулы (32) следует, что
.
Теперь предположим, что и покажем, что выполняется равенство (30).
Рассмотрим полином
(члены низшей степени).
Очевидно, что
,
,
где - фиксированное число.
Для любого сколь угодно малого наперед заданного найдутся натуральные
и
такие, что неравенство
будет выполнятся для всех
. Т. к. из условий теоремы имеем
, из предыдущего неравенства следует, что
.
Далее,
где .
Для этих сумм получаются следующие оценки:
;
;
;
;
С помощью этих оценок найдем
Теперь, при фиксированных и
можно найти
и
такие, что для всех
будем иметь
для всех
и, следовательно,
.
В силу очевидного (и фактически доказанного выше при нахождении оценок сумм) равенства
из следует соотношение (30). Поскольку (30) верно
, то полагая в (30)
, получим
,
ч. т. д.