Пусть двойной ряд
(22)
ограниченно сходится, т. е. существует такое число 
, что 
где
(23)
Для 
и 
, удовлетворяющих неравенствам
рассмотрим двойной степенной ряд
(24)
Теорема 1. Если ряд (22) ограниченно сходится, то ряд (24) абсолютно сходится для всех и таких, что 
, и имеет место равенство
Доказательство. Т.к.
(25)
то 
в силу ограниченной сходимости ряда (22). Следовательно, для
т. е. ряд (24) абсолютно сходится. В силу (25),
.
Сходимость ряда (22) означает, что для любого 
натуральные 
и 
такие, что
где 
- сумма ряда (22), причем, в силу ограниченной сходимости этого ряда, 
Из очевидного тождества
имеем
откуда
.
Поскольку 
, то для
,
,
,
.
Следовательно,
.
Из этого неравенства следует, что 
и фиксированных и найдутся числа 
такие, что при 
и 
будем иметь 
. Отсюда следует, что 
.
Утверждение теоремы 1 можно обобщить, отказавшись от сходимости ряда (22) и ограничившись сходимостью некоторых средних от частных сумм этого ряда. Пусть
(26)
т. е. 
- средние арифметические частных сумм ряда (22). Справедлива следующая
Теорема 2. Если последовательность 
ограничена числом и существует предел 
, то 
.
Доказательство. Из (26) имеем (см. (25)):
, 
.
Из этих неравенств следует, что ряды
, 
, 
сходятся абсолютно для всех 
.
Но тогда в силу равенства
(27)
имеем, применяя это равенство еще раз к ряду в правой части и учитывая (26)
(28)
Из (27) и (28) найдем
.
Из существования предела следует, что
(29)
а из условия ограниченности получим. Что 
и, значит,
.
В силу очевидного тождества
имеем
,
где 
.
Суммы, стоящие в правой части этого равенства, оцениваются следующим образом
,
,
,
.
Теперь получим оценку
Если при фиксированных и положить , , 
, 
, то 
Следовательно, 
.
Замечание. Рассмотрим величины:
, 
, …, 
.
Если существует число такое, что 
, то последовательно получаются неравенства
;
, …
, 
,
из которых следует абсолютная сходимость для 
, 
рядов
, 
, 
по теореме сравнения. Действительно,
,
А каждый из полученных справа степенных рядов сходится: первый при , второй – при , т. к. их радиус сходимости
Докажем теперь следующие обобщения теоремы 2.
Теорема 3. Если существует постоянная такая, что и выполняется соотношение 
, то
Доказательство. Пусть полином 
имеет вид
(члены низшей степени)
и пусть равенство
(30)
имеет место для всех натуральных 
и 
. Покажем, что в этом случае выполняется равенство
Из очевидного равенства
(31)
найдем:
. (32)
Это делается следующим образом. Умножая равенство (31) на 
и суммируя по 
от 0 до 
, получим:
Далее, производя сдвижку индексов в последних трех суммах, получим:
На основании тождеств
,
,
,
подставляя вместо , 
, 
их значения в выражения для 
, получим требуемое равенство (32).
Очевидно, что
(члены низшей степени)]=
;
;
,
где 
, 
- полиномы относительно 
и 
более низших степеней.
В силу условия (30) имеем
;
;
;
.
Из этих равенств и формулы (32) следует, что
.
Теперь предположим, что 
и покажем, что выполняется равенство (30).
Рассмотрим полином
(члены низшей степени).
Очевидно, что
, 
,
где 
- фиксированное число.
Для любого сколь угодно малого наперед заданного найдутся натуральные и такие, что неравенство
будет выполнятся для всех 
. Т. к. из условий теоремы имеем , из предыдущего неравенства следует, что
.
Далее,
где 
.
Для этих сумм получаются следующие оценки:
;
;
;
;
С помощью этих оценок найдем
Теперь, при фиксированных и можно найти 
и такие, что для всех 
будем иметь
для всех и, следовательно,
.
В силу очевидного (и фактически доказанного выше при нахождении оценок сумм) равенства
из 
следует соотношение (30). Поскольку (30) верно 
, то полагая в (30) 
, получим
,
ч. т. д.