Закон постоянства углов позволяет изображать кристаллы на плоскости в виде проекций, сведя все многообразие форм к совокупности углов между гранями или углов между нормалями к граням.
Наиболее часто применяются стереографические проекции.
Проекции граней.
Теоретически построение стереографической проекции граней кристалла выполняется следующим образом:
1. Из центра симметрии или центра тяжести кристалла описывается сфера произвольного радиуса (рис. 3).
2. Из центра сферы на грани (A, B, C, D, E, K) или их продолжения восстанавливают перпендикуляры (нормали) и продолжают их до пересечения со сферой. Точки пересечения (a’, b’, c’, d’, e’, k’) называются полюсами граней.
3. Через центр сферы проводится горизонтальная плоскость, которая является плоскостью проекции; ее часть, ограниченная сферой, называется кругом проекции.
4. Полюса граней соединяются прямыми линиями с южным S (a’, b’, e’, k’) или северным N (c’, d’) полюсами сферы.
5. Точки пересечения этих линий с кругом проекции (a, b, c, d, e, k) являются проекциями соответствующих (A, B, C, D, E, K) граней кристалла.
Проекции граней, полюса которых расположены в верхней (северной) полусфере (включая попадающие на экватор), обозначаются кружочком.
Проекции граней, полюса которых расположены в нижней (южной) полусфере, обозначаются крестиком.
Рис. 3. Схема проектирования граней кристалла на плоскость (вид сбоку).
Практически проектируя кристалл, мысленно описываем вокруг него сферу. Горизонтальная плоскость проекции проходит через центр симметрии, а в случае его отсутствия через центр тяжести. Чертим круг проекций. Далее определяем положение проекций граней, исходя из следующих правил:
- проекции горизонтальных граней всегда находятся в центре круга проекций.
- проекции вертикальных граней всегда находятся на окружности круга проекций.
- проекции наклонных граней находятся внутри круга проекций на направлении перпендикуляра, восстановленного из центра сферы к плоскости грани.
Положение проекций наклонных граней оценивается приблизительно, исходя из того что, чем положе грань, тем ближе ее проекция к центру; чем круче - тем ближе ее проекция к окружности.
На рисунке 4 показана стереографическая проекция граней кристалла золота.
Рис. 4. Внешний вид кристалла золота (а) и проекция его граней (б)
Проекции осей симметрии.
Для обозначения осей симметрии используются следующие условные значки L2 -; L3 -; L4 -; L6 -.
Теоретически для нахождения проекции оси симметрии, ее продолжают в обе стороны до пересечения со сферой в двух точках. Затем эти точки соединяют с южным и северным полюсами сферы. При этом на плоскости проекции получают точки, которые и будут являться проекцией оси.
Практически, определяя проекции осей, надо учитывать следующие правила:
- проекция вертикальных осей располагается в центре круга проекций;
- проекция горизонтальных осей изображается на круге проекций в двух диаметрально противоположных точках;
- проекция наклонных осей располагается внутри круга проекций, аналогично проекции наклонных граней. Обозначается проекция только верхнего конца оси.
Кристалл золота (см. рис. 4а), проекция граней которого дана на рисунке 4б, имеет такие элементы симметрии 3L4, 4L3, 6L2, 9Р, С.
Одна из осей четвертого порядка (L4 ) в кристалле вертикальна и ее проекция (рис. 5) располагается в центре круга проекции; две другие L4 - горизонтальны, их проекции - на окружности.
Оси симметрии третьего порядка (L3) наклонные и поэтому их проекции располагаются посередине между центром и окружностью.
Две из осей второго порядка - горизонтальны, а четыре - наклонные. Они проектируются аналогично осям L4 и L3.
Рис. 5. Проекция осей симметрии кристалла золота.
Проекции плоскостей симметрии.
Проекции плоскостей симметрии обозначаются двойной линией.
Если продолжить плоскость симметрии до пересечения со сферой, то получим окружность. Проектируя каждую точку этой окружности аналогично полюсам граней, получим проекцию плоскости симметрии. Для наклонных и вертикальных плоскостей симметрии принято изображать проекции точек только верхней полуокружности.
Проектируя плоскости симметрии надо учитывать следующие правила:
- проекции вертикальных плоскостей представляют собой прямые линии и совпадают с диаметрами круга проекции;
- проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью круга проекции;
- проекции наклонных плоскостей представляют собой дуги, опирающиеся на концы диаметра круга проекции.
Проектируя плоскости симметрии (особенно наклонные), необходимо обратить внимание на то, какие элементы симметрии данного кристалла они включают, через какие грани они проходят.
В кристалле золота (см. рис. 4а) вертикальных плоскостей - четыре. Они изображаются (рис. 6) диаметральными прямыми. Проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью. Проекции четырех наклонных плоскостей представлены дугами.
 |
Рис. 6. Проекция плоскостей симметрии кристалла золота.
Проекция центра симметрии обозначается С и располагается в центре круга проекции (рис. 7).
 |
Рис. 7. Полная стереографическая проекция кристалла золота.
РАБОТА 3
СИМВОЛЫГРАНЕЙ
Взаимное расположение граней кристаллов в пространстве определяется с помощью символов.
Метод определения символов основывается на
законе целых чисел (закон Гауи):
Двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел.
Закон Гауи отражает соответствие внешней формы кристалла строению его кристаллической решетки, так как грани кристаллов параллельны плоским сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью материальных частиц (ретикулярная плотность).
Тип кристаллической решетки определяется формой ее элементарной ячейки - величиной элементарных отрезковa0, b0, c0, и углов между ними a, b, g, называемых осевыми углами (рис. 8).
 |
Рис. 8. Элементарная ячейка кристаллической решетки.
С направлениями a, b, c совместим положение пространственных координатных осей XYZ, называемых кристаллографическими.
Ось X располагается горизонтально, ее направление от начала координат к наблюдателю считается положительным, а от наблюдателя - отрицательным.
Ось Y располагается горизонтально, ее направление вправо от начала координат считается положительным, влево - отрицательным.
Ось Z располагается вертикально, ее направление вверх от начала координат считается положительным, вниз - отрицательным.
Плоская сетка, проходящая через точки AC’B пересекает все три координатные оси, отсекая на них элементарные отрезки a0, b0, c0. Относительно ее положения в пространстве определяется положение всех других плоских сеток и параллельных им граней кристалла.
В качестве примера определения относительного пространственного положения плоских сеток рассмотрим две смежные элементарные ячейки кристалла (рис. 9).
Положение в пространстве плоской сетки AC’B определяется отношением элементарных отрезков:
a0: b0: c0
Положение в пространстве плоской сетки AC”B аналогично определяется отношением:
a0: b0: 2c0
Рис. 9. Две смежные элементарные ячейки кристаллической решетки.
Положение в пространстве плоской сетки AC”B относительно плоской сетки AC’B определяется отношением:
a0/a0: b0/b0: 2c0/c0 = 1:1:2/1
Возьмем отношение обратное полученному:
1:1:1/2
Это необходимо потому, что в случаях, когда плоская сетка располагается параллельно координатной оси, ее параметр (отрезок) по этой оси равен бесконечности - (¥), то есть неопределенной величине, с которой нельзя производить никаких математических преобразований. Обратная же величина будет равна нулю - (1/¥ =0).
Приведя это выражение к общему знаменателю, получим двойное отношение параметров (отрезков) согласно закону Гауи:
2:2:1
Для грани кристалла параллельной плоской сетке AC”B последнее выражение называется символом и записывается в виде:
(221)
Отдельное численное значение в символе называется индексом.
Положение в пространстве всех граней кристалла сравнивается с положением единичной грани, которая параллельна плоской сетке, отсекающей элементарные отрезки на всех трех координатных осях - XYZ. В рассмотренном примере это плоская сетка AC’B.
Масштабом измерения для реальных кристаллов обычно являются не расстояния между узлами кристаллической решетки (элементарные отрезки), а единичные отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях единичной гранью.
Величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков.
Практически для определения символов граней на моделях кристаллов необходимо:
1 - выбрать направления координатных осей - обычно они параллельны ребрам кристалла и часто совпадают с осями симметрии;
2 - поместить начало координат в центре симметрии (или в центре тяжести) кристалла;
3 - выбрать единичную грань и, продолжив ее плоскость до пересечения со всеми координатными осями, определить масштаб измерения по ним - единичные отрезки;
4 - определить параметры - отрезки, отсекаемые другими гранями кристалла на координатных осях;
5 - определить их отношения к единичным отрезкам;
6 - взяв обратные значения этих отношений, приведя их к общему знаменателю и упростив - определить индексы и символ грани.
Рассмотрим пример определения символов грани (рис. 10).
ACBED - часть кристалла, ограниченная гранями ACB и ABED.
Из точки О, совпадающей с центром тяжести кристалла, как из начала координат проведем координатные оси X, Y, Z.
 |
Рис. 10. Определение символов граней.
Выберем грань АВС за единичную, мысленно (или с помощью листа бумаги) продолжим плоскость грани до пересечения со всеми координатными осями.
Отрезки ОА’, OB’, OC являются единичными. Соответственно символ грани АВС (111).
Поскольку величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков, по каждой из осей выберем такой масштаб измерения (a, b, c), при котором длины единичных отрезков измерялись бы целыми числами.
Продолжим плоскость грани АВED до пересечения с осями.
Отношения параметров - отрезков OD, OE, OC’ к единичным составляют:
OD/OA’ =2а/3а; OE/OB’=2b/4b; OC’/OC=4c/2c
Их отношения между собой после упрощения составят:
2/3:1/2:2/1
Обратные им величины соответственно равны:
3/2:2/1:1/2
Приведем к общему знаменателю и, упростив выражение, получим:
3:4:1
Запишем символ грани АВED:
(341)
При определении символов граней необходимо помнить следующее:
1 - чем больше отрезок, отсекаемый гранью на оси по сравнению с единичным, тем меньше индекс;
2 - грань, параллельная одной из координатных осей, имеет в символе по этой оси ноль, например, для грани параллельной оси Z - (210);
3 - если грань пересекает только одну координатную ось (например Z) и параллельна двум другим - X и Y, ее символ имеет вид (001); грань, пересекающая только ось Y, имеет символ (010), пересекающая только ось X - (100);
4 - грани одинакового вида и одинаково ориентированные в пространстве относительно выбранных осей координат имеют символы, отличающиеся друг от друга только знаком, например, (111) и (111), или порядком расположения индексов, например, (123) и (321).
РАБОТА 4