Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико–математический факультет

Кафедра общей математики и информатики

Матейко О. М., Плащинский П.В.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 2

МИНСК

Ó Матейко О. М., Плащинский П.В., 2005.

Интегральное исчисление функций

Одной переменной

Перечень вопросов по теме

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

2. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, метод интегрирования по частям.

3. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.

4. Интегрирование иррациональных функций с квадратным трехчленом в знаменателе.

5. Интегрирование рациональных функций.

6. Интегрирование тригонометрических выражений.

7. Интегрирование иррациональных функций.

8. Определенный интеграл: определение, геометрический и физический смысл. Условия интегрируемости функций.

9. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

10. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

11. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

12. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объемов геометрических тел.

Задание 1. Вычислить указанные неопределенные интегралы.

0.	0.1.	;	0.2.	;
0.3.	;	0.4.	;
0.5.	;	0.6.	.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Непосредственным интегрированием получаем:

Пример 0.2. Аналогично,

Пример 0.3. Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

Пример 0.4. Применяя тригонометрические формулы понижения степени, приводим интегралы к табличному виду:

Пример 0.5. Выделяем в числителе производную знаменателя, а затем, выделяя в трехчлене полный квадрат, приводим интегралы к табличному виду:

Пример 0.6. После степенной замены подынтегральная функция становится рациональной:

1.	1.1.	;	1.2.	;
1.3.	;	1.4.	;
1.5.	;	1.6.	.

2.	2.1.	;	2.2.	;
2.3.	;	2.4.	;
2.5.	;	2.6.	.

3.	3.1.	;	3.2.	;
3.3.	;	3.4.	;
3.5.	;	3.6.	.

4.	4.1.	;	4.2.	;
4.3.	;	4.4.	;
4.5.	;	4.6.	.

5.	5.1.	;	5.2.	;
5.3.	;	5.4.	;
5.5.	;	5.6.	.

6.	6.1.	;	6.2.	;
6.3.	;	6.4.	;
6.5.	;	6.6.	.

7.	7.1.	;	7.2.	;
7.3.	;	7.4.	;
7.5.	;	7.6.	.

8.	8.1.	;	8.2.	;
8.3.	;	8.4.	;
8.5.	;	8.6.	.

9.	9.1.	;	9.2.	;
9.3.	;	9.4.	;
9.5.		9.6.	.

10.	10.1.	;	10.2.	;
10.3.	;	10.4.	;
10.5.	;	10.6.	.

11.	11.1.	;	11.2.	;
11.3.	;	11.4.	;
11.5.	;	11.6.	.

12.	12.1.	;	12.2.	;
12.3.	;	12.4.	;
12.5.	;	12.6.	.

13.	13.1.	;	13.2.	;
13.3.	;	13.4.
13.5.	;	13.6.	.

14.	14.1.	;	14.2.	;
14.3.	;	14.4.	;
14.5.	;	14.6.	.

15.	15.1.	;	15.2.	;
15.3.	;	15.4.	;
15.5.	;	15.6.	.

16.	16.1.	;	16.2.	;
16.3.	;	16.4.	;
16.5.	;	16.6.	.

17.	17.1.	;	17.2.	;
17.3.	;	17.4.	;
17.5.	;	17.6.	.

18.	18.1.	;	18.2.	;
18.3.	;	18.4.	;
18.5.	;	18.6.	.

19.	19.1.	;	19.2.	;
19.3.	;	19.4.	;
19.5.	;	19.6.	.

20.	20.1.	;	20.2.	;
20.3.	;	20.4.	;
20.5.	;	20.6.	.

21.	21.1.	;	21.2.	;
21.3.	;	21.4.	;
21.5.	;	21.6.	.

22.	22.1.	;	22.2.	;
22.3.	;	22.4.	;
22.5.	;	22.6.	.

23.	23.1.	;	23.2.	;
23.3.	;	23.4.	;
23.5.	;	23.6.	.

24.	24.1.	;	24.2.	;
24.3.	;	24.4.	;
24.5.	;	24.6.	.

25.	25.1.	;	25.2.	;
25.3.	;	25.4.	;
25.5.	;	25.6.	.

Задание 2. Вычислить следующие определенные интегралы:

0.	0.1.	;	0.2.	;
0.3.	;	0.4.	.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Применяя свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

= = + = +

+ = .

Пример 0.2. Интегрируя по частям, находим

= = – =

= – = – = – +

+ = – + = – .

Пример 0.3. Введем новую переменную t по формуле _,тогда , 2 xdx = 2 tdt. Найдем новые пределы интегрирования: при x = 0имеем t = 1; при x = , t =2. Таким образом, получаем:

= = = t = 2 – 1 = 1.

Пример 0.4. Выделяя полный квадрат в знаменателе, получаем:

= = =

= = .

1.	1.1.	;	1.2.	;
1.3.	;	1.4.	.

2.	2.1.	;	2.2.	;
2.3.	;	2.4.	.

3.	3.1.	;	3.2.	;
3.3.	;	3.4.	.

4.	4.1.	;	4.2.	;
4.3.	;	4.4.	.

5.	5.1.	;	5.2.	;
5.3.	;	5.4.	.

6.	6.1.	;	6.2.	;
6.3.	;	6.4.	.

7.	7.1.	;	7.2.	;
7.3.	;	7.4.	.

8.	8.1.	;	8.2.	;
8.3.	;	8.4.	.

9.	9.1.	;	9.2.	;
9.3.	;	9.4.	.

10.	10.1.	;	10.2.	;
10.3.	;	10.4.	.

11.	11.1.	;	11.2.	;
11.3.	;	11.4.	.

12.	12.1.	;	12.2.	;
12.3.	;	12.4.	.

13.	13.1.	;	13.2.	;
13.3.	;	13.4.	.

14.	14.1.	;	14.2.	;
14.3.	;	14.4.	.

15.	15.1.	;	15.2.	;
15.3.	;	15.4.	.

16.	16.1.	;	16.2.	;
16.3.	;	16.4.	.

17.	17.1.	;	17.2.	;
17.3.	;	17.4.	.

18.	18.1.	;	18.2.	;
18.3.	;	18.4.	.

19.	19.1.	;	19.2.	;
19.3.	;	19.4.	.

20.	20.1.	;	20.2.	;
20.3.	;	20.4.	.

21.	21.1.	;	21.2.	;
21.3.	;	21.4.	.

22.	22.1.	;	22.2.	;
22.3.	;	22.4.	.

23.	23.1.	;	23.2.	;
23.3.	;	23.4.	.

24.	24.1.	;	24.2.	;
24.3.	;	24.4.	.

25.	25.1.	;	25.2.	;
25.3.	;	25.4.	.

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

0. y = x ² – 2 x + 2, y = x + 2.

Решение варианта 0.

Данная фигура сверху ограничена прямой y = x + 2, снизу параболой y = x ² – 2 x + 2. Искомую площадь вычислим по формуле S = Пределами интегрирования будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Решая систему уравнений y = x ² – 2 x + 2, y = x + 2 находим: , , т. е. a = 0, b = 3. Таким образом получаем:

S = = =

= = –9 +

1. y = x + 1, y = cos x, y = 0. 2. xy = – 2, y = x – 3.

3. y = x ², y = 3 – x. 4. y = x ² + 4 x, y = x + 4.

5. y = , y = x ³. 6. y = – x ² + 4, 2 x + y – 4 = 0.

7. y = x – 2, y = x (2 – x). 8. y = x ² – 4 x, y = 0.

9. y ²= 9 x, y = 3 x. 10. y = – x ² – 3 x + 6, y = x ² – x – 6.

11. y ²= 4 x, x ²= 4 y. 12. x = y ² – 6 y + 8, x + y = 4.

13. y = x ², y = 2 – x ². 14. y = – x ² + 2 x – 1, y = – x + 1.

15. y = , y = . 16. y = , y = 0.

17. xy =5, x + y = 6. 18. y = – x ² + x + 3, y = x ² – 5 x – 17.

19. xy =4, x + y – 5 = 0. 20. y = ln x, y = – x +1 + e, y = 0.

21. y = x, y = 2 x, y = . 22. y = tg x, y = 2 x +1 – , y = 0.

23. y ²= x + 1, y ²= 9 – x. 24. y = tg x, y = sin x.

25. y = x ² + 2, x + y – 4 = 0.

Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:

0. y = sin x, (0≤ x ≤p), y = 0, O x.

Решение варианта 0.

Изобразим указанное тело на чертеже.

Искомый объем вычислим по формуле V = . Имеем:

V = = = = .

1. y = 2 x – x ², y = x, O x. 2. y ²= 2 x, x = 4, y = 0, O x.

3. y = , y = x ², O x. 4. y = ln x, (0≤ x ≤ a), y = 0, O x.

5. y ²= x, x ² = y, O x. 6. y ²= 4 x, x = 2, y = 0, O x.

7. y ²= 4 – x, x = 0, O y. 8. xy =4, 2 x + y – 6 = 0, O x.

9. y = , (1≤ x ≤2), y = 0, O x. 10. y = 2 – , x + y = 2, O y.

11. y = – x ² + 8, y = x ², O x. 12. y = , y = x, O x.

13. y = x ³, x = 0, y = 8, O y. 14. y = 4 – x ², x ≥ 0, y = 0, O y.

15. y = x – x ², y = 0, O x. 16. y = x ² – 3 x + 2, y = 0, O x.

17. y = x ², y ²= 8 x, O y. 18. y = sin x, (0≤ x ≤p), y = 1, O x.

19. y = ,(0≤ x ≤4), y = 0, O x. 20. y = , y = x, O x.

21. O y. 22. y = tg x, (0≤ x ≤ ), y = 0, O x.

23.2 y ² = x ³, y = 0, x = 4, O x. 24. y ³ = 4 x ², x = 0, y = 2, O y.

25. x ² + y ⁴ = y ², O y.

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Поиск по сайту