Функции НЕСКОЛЬКИХ переменных




Перечень вопросов по теме

1. Область определения функции нескольких переменных. Частное и полное приращение.

2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

3. Частные производные и полный дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

4. Дифференцирование сложных и неявных функций.

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

6. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.

Задание 5. Вычислить частные производные первого и второго порядков указанных функций.

0. 0.1. ; 0.2. .

 

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Считая одну из переменных постоянной величиной, с помощью таблицы производных получаем:

,

,

,

,

.

Пример 0.2. Как и в предыдущем случае, имеем:

,

,

,

,

.

1. 1.1. ; 1.2. .

 

2. 2.1. ; 2.2. .

 

3. 3.1. ; 3.2. .

 

4. 4.1. ; 4.2. .

 

5. 5.1. ; 5.2. .

 

6. 6.1. ; 6.2. .

 

7. 7.1. ; 7.2. .

 

8. 8.1. ; 8.2. .

 

9. 9.1. ; 9.2. .

 

10. 10.1. ; 10.2. .

 

11. 11.1. ; 11.2. .

 

12. 12.1. ; 12.2. .

 

13. 13.1. ; 13.2. .

 

14. 14.1. ; 14.2. .

 

15. 15.1. ; 15.2. .

 

16. 16.1. ; 16.2. .

 

17. 17.1. ; 17.2. .

 

18. 18.1. ; 18.2. .

 

19. 19.1. ; 19.2. .

 

20. 20.1. ; 20.2. .

 

21. 21.1. ; 21.2. .

 

22. 22.1. ; 22.2. .

 

23. 23.1. ; 23.2. .

 

24. 24.1. ; 24.2. .

 

25. 25.1. ; 25.2. .

Задание 6. Найти локальные экстремумы (первая функция) и условные экстремумы в указанной области (вторая функция).

0. 0.1. ;
0.2. , .

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Ищем стационарные точки функции:

.

Находим частные производные второго порядка:

, , .

Для каждой стационарной точки вычисляем D:

, , ,

;

, , ,

;

Так как в обеих точках D<0, то в них нет экстремума.

Пример 0.2. Как и в предыдущем примере ищем стационарные точки функции в области:

.

Внутрь нашей области попадает только точка (3/20; 1/2), в которой значение исследуемой функции равно 9/320.

Исследуем теперь поведение функции на границе области. На отрезках [(0; 0); (4/5; 0)] и [(0; 0); (0; 4/3)] функция равна нулю, поэтому минимальное и максимальное значение здесь — ноль. На отрезке [(0; 4/3); (4/5; 0)] функция превращается в

,

исследуя которую, находим , .

Таким образом,

, .

1. 1.1. ;
1.2. , .

 

2. 2.1. ;
2.2. , .

 

3. 3.1. ;
3.2. , .

 

4. 4.1. ;
4.2. , .

 

5. 5.1. ;
5.2. , .

 

6. 6.1. ;
6.2. , .

 

7. 7.1. ;
7.2. , .

 

8. 8.1. ;
8.2. , .

 

9. 9.1. ;
9.2. , .

 

10. 10.1. ;
10.2. , .

 

11. 11.1. ;
11.2. , .

 

12. 12.1. ;
12.2. , .

 

13. 13.1. ;
13.2. , .

 

14. 14.1. ;
14.2. , .

 

15. 15.1. ;
15.2. , .

 

16. 16.1. ;
16.2. , .

 

17. 17.1. ;
17.2. , .

 

18. 18.1. ;
18.2. , .

 

19. 19.1. ;
19.2. , .

 

20. 20.1. ;
20.2. , .

 

21. 21.1. ;
21.2. , .

 

22. 22.1. ;
22.2. , .

 

23. 23.1. ;
23.2. , .

 

24. 24.1. ;
24.2. , .

 

25. 25.1. ;
25.2. , .

 

Ряды

Перечень вопросов по теме

1. Числовые ряды.

2. Сходимость числовых рядов.

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

4. Знакопеременные ряды. Действия над рядами.

5. Степенные ряды, радиус сходимости, область сходимости.

Задание 7. Исследовать ряды на сходимость.

 

0. 0.1. ; 0.2. ;
0.3. ; 0.4. .

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Используем признак сравнения в предельной форме, сравнив данный ряд с гармоническим. Так как

,

то данный ряд расходится в силу расходимости гармонического ряда.

Пример 0.2. Используем признак Даламбера:

,

значит, данный ряд сходится.

Пример 0.3. Применяя признак Коши, получим:

,

что свидетельствует о сходимости исследуемого ряда.

Пример 0.4. Данный ряд — знакопеременный, поэтому для исследования его сходимости используем признак Лейбница. Последовательность монотонно стремится к нулю при росте n:

, .

Таким образом, условия сходимости выполнены.

1. 1.1. ; 1.2. ;
1.3. ; 1.4. .

 

2. 2.1. ; 2.2. ;
2.3. ; 2.4. .

 

3. 3.1. ; 3.2. ;
3.3. ; 3.4. .

 

4. 4.1. ; 4.2. ;
4.3. ; 4.4. .

 

5. 5.1. ; 5.2. ;
5.3. ; 5.4. .

 

6. 6.1. ; 6.2. ;
6.3. ; 6.4. .

 

7. 7.1. ; 7.2. ;
7.3. ; 7.4. .

 

8. 8.1. ; 8.2. ;
8.3. ; 8.4. .

 

9. 9.1. ; 9.2. ;
9.3. ; 9.4. .

 

10. 10.1. ; 10.2. ;
10.3. ; 10.4. .

 

11. 11.1. ; 11.2. ;
11.3. ; 11.4. .

 

12. 12.1. ; 12.2. ;
12.3. ; 12.4. .

 

13. 13.1. ; 13.2. ;
13.3. ; 13.4. .

 

14. 14.1. ; 14.2. ;
14.3. ; 14.4. .

 

15. 15.1. ; 15.2. ;
15.3. ; 15.4. .

 

16. 16.1. ; 16.2. ;
16.3. ; 16.4. .

 

17. 17.1. ; 17.2. ;
17.3. ; 17.4. .

 

18. 18.1. ; 18.2. ;
18.3. ; 18.4. .

 

19. 19.1. ; 19.2. ;
19.3. ; 19.4. .

 

20. 20.1. ; 20.2. ;
20.3. ; 20.4. .

 

21. 21.1. ; 21.2. ;
21.3. ; 21.4. .

 

22. 22.1. ; 22.2. ;
22.3. ; 22.4. .

 

23. 23.1. ; 23.2. ;
23.3. ; 23.4. .

 

24. 24.1. ; 24.2. ;
24.3. ; 24.4. .

 

25. 25.1. ; 25.2. ;
25.3. ; 25.4. .


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: