Задание 9. Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка. Если даны частные условия, найти частные решения.

0.

0.1.

, y (0) = 2;

0.2.

(y 4 – 2 x 3 y) dx + (x 4 – 2 xy 3) dy = 0.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Предполагая, что y ≠ 0, разделим обе части уравнения на y и умножим на x. Получим: .Данное уравнение можно переписать так: . Это уже уравнение с разделенными переменными. Взяв интегралы от обеих частей, получим общее решение:

ln6 y 6 = 0,5sin x ² + lnC.

(В последней записи произвольная постоянная обозначена не С, а lnC. Причина этого становится понятной при выполнении потенциирования последнего равенства). Далее находим:

y (x) = C .

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что функция у =0 является его решением. Очевидно, что это решение получается из последнего равенства при С = 0. Таким образом, общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид: y (x) = C .

Найдем указанное частное решение, для чего определим значение параметра С. Подставляя в последнее выражение x =0 и y = 2, получаем 2 = Сe ⁰, откуда С = 2. Следовательно, искомое частное решение определяется формулой

y = 2 .

Пример 0.2. Функции P (x, y) = y ⁴ – 2 x ³ y; Q (x, y) = x ⁴ – 2 xy ³ являются однородными функциями четвертого порядка. Вводим новую переменную u по формуле y = ux, тогда dy = udx + xdu. Преобразуем исходное уравнение, подставив в него выражения для y и dy:

(u ⁴ + u) dx – (1 – 2 u ³) xdu = 0, или

Проинтегрируем последнее уравнение: ln6 x 6 = ln6 u 6 – ln61+ u ³6 + ln6 C 6, откуда x (1 + u ³) = Cu. Поскольку u = y / x, то x ³ + y ³ – Cxy = 0 – общий интеграл данного уравнения.

1.

1.1.

(2 x + 5) dy + ydx =0, y (2) = 0;

1.2.

= y/x + ey/x.

2.

2.1.

yx – =0, y (0) = 10;

2.2.

(2 x – y) dx + (x + y) dy =0.

3.

3.1.

= (2 x + 2) , y (0) = 1;

3.2.

= .

5.

5.1.

= y 2cos x, y (0) = 2;

5.2.

(x 2 – y 2) dy – 2 xydx = 0.

8.

8.1.

x (1 + y 2) dx = ydy, y (0) = 1;

8.2.

(2 – x) dy + ydx = 0.

9.

9.1.

= , y (1) = 2;

9.2.

xy 2 dy = (x 3 + y 3) dx.

11.

11.1.

(4 – x 2) – 4 y = 0, y (0) = 5;

11.2.

(y 2 – xy) dx = (2 xy – x 2) dy.

12.

12.1.

– 2 xy – y = 0, y (0) = ;

12.2.

x = y ln().

13.

13.1.

dy – ydx = 0, y (1,5) = 1;

13.2.

x = y + .

14.

14.1.

2 dy – (1 + 4 y 2) dx = 0, y () = 1;

14.2.

2 x 2 = 3 x 2 + 6 xy + y 2.

15.

15.1.

x = e – x , y (0) = 0;

15.2.

x 2 dy = (x 2 + xy + y 2) dx.

16.

16.1.

dy = (1 + 2 y) dx, y (ln2) = 2,5;

16.2.

x 2 = xy + y 2.

17.

17.1.

tg x = 1 + 2 y, y () = 0,5;

17.2.

(y + ) dx = xdy.

18.

18.1.

dy – ydx = dx, y (0) = 0;

18.2.

x 3 dy = (x 2 – y 2) ydx.

19.

19.1.

x + = 0, y (1) = 0;

19.2.

(y –2 ) dx = xdy.

21.

21.1.

(2 xy + 3y) = 1 – y 2, y (0) = 2;

21.2.

(x 2 + y 2) = 2 xy.

22.

22.1.

x + y = y 2, y (1) = 0,5;

22.2.

(x – y) dx + (x + y) dy =0.

23.

23.1.

(x 2 – 1) +2 xy 2 = 0, y (0) = 1;

23.2.

(y + ) dx = xdy.

24.

24.1.

dx=xdy, y (1) = 0,5;

24.2.

x = y (1 + ln()).

25.

25.1.

(1 + ex) y = ex, y (0) = 1;

25.2.

= – .

Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

0. – y tg x = 2tg x.

Решение варианта 0.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать общее решение уравнения в виде y (x) = u (x) v (x), где u (x) и v (x) – подлежащие определению пока неизвестные функции. Подставляя это выражение в уравнение, получим , или . Выберем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Имеем:

, , ,

(Из всей совокупности решений этого уравнения выбрано в качестве функции v одно конкретное). Далее получаем: , , откуда u = – 2cos x + C. Таким образом, общее решение имеет вид:

1. + y = 5 x.	2. + y – x = 5.
3. x – y = x 3.	4. –4 y = e 2 x .
5. x – 4 y = 2 x 2 – 3 x.	6. x = x 4 – 2 y.
7. x 2= 2 xy + 3.	8. + y = ex.
9. + y = ex sin x.	10. x + y = sin x.
11. x – y =x .	12. x + y = ln x + 1.
13. x – 2 y = 2 x 4.	14. + y tg x = (cos x)–1.
15. – = x 2.	16. – = (x + 1)3.
17. +2 y = e 3 x .	18. + y = cos x.
19. + x 2 y = x 2.	20. x 2+ xy + 1 = 0.
21. + y = 1.	22. – y tg x = .
23. x – xy = ex.	24. – 2 y = e–x.
25. = 2 y + ex – x.

Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.

0. 2 y + = 0.

Решение варианта 0.

Полагая

= p, ,

получаем уравнение с разделяющимися переменными 2 yp ³ + = 0, откуда

2 yp ² + = 0, = – 2ydy, = y ² + C ₁, p = .

Следовательно,

, (y ² + C ₁) dy = dx.

Интегрируя последнее равенство, находим

, .

1. =2 y .	2. = ey.
3. =2 – y.	4.2 = e 2 y .
5. x = 1 + x 2.	6.2 =3 y 2.
7. x – = 0.	8. cos2 x = 1.
9.(x 2 + 1) – 2 x = 0.	10. =4cos2 x.
11. + = 0.	12. = .
13.(x 2 + 1) =3.	14. x – = x 2 ex.
15.2 y =1 + .	16. x 2 =4.
17. (2 + x) = 1.	18. x ( +1) + = 0.
19.(1 – x 2) – x = 0.	20. y – = 0.
21. x ln x = .	22. x + x = 1.
23. y 3 =1.	24. y + = 0.
25. tg y = 2 .