Используя математический аппарат теории массового обслуживания, можно вычислить зависимость времени передачи кадров от скорости работы глобальной сети без подключения к реальным каналам. Такие вычисления позволяют ответить на множество вопросов относительно производительности сети; благодаря им становится понятным, каково среднее время задержки кадров на мосте/маршрутизаторе, как может повлиять на величину этих задержек рост скорости работы канала связи глобальной сети и при каких условиях рост скорости обмена информацией по каналам глобальной сети не приводит к существенному увеличению производительности моста/маршрутизатора.
Пример расчета:
Число станций – 500.
Число транзакций (кадров) от одной станции - 700
Режим работы круглосуточный (24 часа). В час наибольшей нагрузки передается 20% от всего числа передаваемых кадров.
Размер кадра 80 байт.
Итого в час через HUB проходит:
- При Гауссовском распределении N = 700 * 500 * 0.2 = 70000 кадров.
- При нормальном распределении N = 700 * 500 / 24 = 14583,3 кадра.
Скорость поступления кадров получается делением полученных чисел на 3600:
- При Гауссовском распределении 70000 / 3600 = 19,44 кадров в секунду.
- При нормальном распределении 14583,3 / 3600 = 4,05 кадров в секунду.
Для подсчета скорости обслуживания следует задаться определенным значением скорости работы глобальной сети. При этом совершенно неважно, насколько близка к оптимальной взятая в качестве начального приближения скорость обмена информацией по глобальной сети, поскольку все вычисления легко повторить для другого значения скорости. Для начала примем скорость обмена информацией равной 64000 бит/с. Тогда время, необходимое для передачи одного кадра длиной 80 байт, составит 0,01 секунды.
Ожидаемое время обслуживания равно 0,01 секунды, откуда получаем, что средняя скорость обслуживания (величина, обратная к ожидаемому времени обслуживания) составляет 100 кадров в секунду.
Из расчетов видно, что скорость обслуживания выше чем скорость поступления кадров, то есть данный канал справляется приходящим трафиком.
Степень использования технических возможностей обслуживающего устройства (P) в одноканальной однофазной системе можно определить, поделив среднюю скорость поступления заказов на среднюю скорость обслуживания.
- При Гауссовском распределении Р = 19,44 / 100 = 0,1944 = 19,44%.
- При нормальном распределении Р = 4,05 / 100 = 0,0405 = 4,05%.
Зная степень использования обслуживающего устройства, довольно легко определить вероятность отсутствия заказов (обслуживаемых кадров) в данный момент времени. Эта вероятность, обозначенная нами как P0, равна единице минус степень использования канала (P0 = 1 - P).
- При Гауссовском распределении Р0 = 1 - 0,1944 = 0,8066 = 80,66%.
- При нормальном распределении Р0 = 1 - 0,0405 = 0,9595 = 95,95%.
Получив некоторые сведения относительно степени использования обслуживающего устройства, выясним теперь, каким образом кадры скапливаются в очередях и как влияют связанные с этими очередями задержки на процесс передачи кадров от одной локальной сети к другой.
В теории массового обслуживания среднее число объектов (unit) в системе обычно обозначается L, а среднее число объектов в очереди - Lq. Для одноканальной однофазной системы, L равняется средней скорости поступления заказов, деленной на разность между средней скоростью обслуживания и скоростью поступления заказов.
- При Гауссовском распределении L = 19,44 / (100 – 19,44) = 0,2414.
- При нормальном распределении L = 4,05 / (100 – 4,05) = 0,0422.
Таким образом, в буфере маршрутизатора и линии связи в любой момент находится чуть больше 4 - 24% одного кадра. Чтобы определить среднее число объектов в очереди (Lq), перемножим степень использования обслуживающего устройства (P) на число объектов в системе (L).
- При Гауссовском распределении Lq = 0,2414 * 19,44 = 0,0469.
- При нормальном распределении Lq = 0,0422 * 4,05 = 0,00171.
Теория массового обслуживания позволяет рассчитать среднее время нахождения объекта в системе (W) и среднее время ожидания в очереди (Wq).
Среднее время нахождения в системе представляет собой величину, обратную разнице между скоростью обслуживания и скоростью поступления заказов. Подставив числа из нашего примера, найдем, что в данном случае каждый кадр проводит в системе в среднем:
- При Гауссовском распределении W = 1 / (100 - 19,44) = 0,0124с.
- При нормальном распределении W = 1 / (100 - 4,05) = 0,0104с.
Очереди в системе можно охарактеризовать еще одним параметром, а именно временем ожидания. В нашем случае значение Wq равно произведению времени ожидания в системе на степень использования обслуживающего устройства. Таким образом, для нашей сети:
- При Гауссовском распределении Wq = 0,0124 * 0,1944 = 0,00241с.
- При нормальном распределении Wq = 0,0104 * 0,0405 = 0,00042с.
Проведем аналогичные расчеты для каналов различной пропускной способности для Гауссовского распределения.
Таблица №1 - Варьирование пропускной способности глобальной сети.
| Скорость линии (бит/с) | |||||||
| Время передачи кадра, с | 0,033333 | 0,02 | 0,01 | 0,005 | 0,0025 | 0,00125 | |
| Средняя скорость обслуживания | |||||||
| Степень использования канала | P | 0,648148 | 0,3889 | 0,1944 | 0,097222 | 0,0486 | 0,02431 |
| Вероятность отсутствия кадров в системе | P0 = 1 - P | 0,351852 | 0,6111 | 0,8056 | 0,902778 | 0,9514 | 0,97569 |
| Среднее число объектов (всего) | L | 1,842105 | 0,6364 | 0,2414 | 0,107692 | 0,0511 | 0,02491 |
| Среднее число объектов в очередях | Lq = L * P | 1,193957 | 0,2475 | 0,0469 | 0,01047 | 0,0025 | 0,00061 |
| Полное время ожидания | W | 0,094737 | 0,0327 | 0,0124 | 0,005538 | 0,0026 | 0,00128 |
| Время ожидания в очереди | Wq = W * P | 0,061404 | 0,0127 | 0,0024 | 0,000538 | 0,0001 | 3,1E-05 |
Закономерное уменьшение выигрыша во времени ожидания по мере роста пропускной способности особенно хорошо видно при сравнении производительности глобальной сети для каналов с разной пропускной способностью. При увеличении пропускной способности канала связи выше четвертого уровня (128000 бит/с) вероятность отсутствия кадров в системе практически не растет.
Используя данный метод мы определили, что при Гауссовском распределении нагрузки на канал его скорость должна составлять 128 кбит/с. Время ожидания в очереди при этом составит 0,000538 сек, а время передачи по каналу связи в одну сторону - 0,005 сек. Степень использования канала 90%, а вероятность отсутствия кадров в системе – 10%. При этом в буфере обмена маршрутизатора в любой момент времени находится 0,5 % одного кадра.
Применительно к нашему варианту таблица варьирования пропускной способности глобальной сети выглядит следующим образом.
| Занятие линии одним абонентом, часы | ||||||||
| Cкорость кодирования голоса, бит/с | ||||||||
| Трафик от одного абонента в сутки, бит | ||||||||
| Средняя длина кадра, бит | ||||||||
| Число кадров от одного абонента | ||||||||
| Число абонентов | ||||||||
| Общее число кадров | ||||||||
| Процент от общего числа звонков | 50% | 50% | 50% | 50% | 50% | 50% | 50% | |
| Скорость поступления кадров | 148,5 | 148,5 | 148,5 | 148,5 | 148,5 | 148,5 | 148,5 | |
| Скорость линии (бит/с) | ||||||||
| Время передачи кадра, с | 0,0046875 | 0,0023438 | 0,0011719 | 0,0005859 | 0,000293 | 0,0001465 | 7,324E-05 | |
| Средняя скорость обслуживания | 213,33333 | 426,66667 | 853,33333 | 1706,6667 | 3413,3333 | 6826,6667 | 13653,333 | |
| Степень использования канала | P | 0,6960938 | 0,3480469 | 0,1740234 | 0,0870117 | 0,0435059 | 0,0217529 | 0,0108765 |
| Вероятность отсутствия кадров в системе | P0 = 1 - P | 0,3039063 | 0,6519531 | 0,8259766 | 0,9129883 | 0,9564941 | 0,9782471 | 0,9891235 |
| Среднее число объектов (всего) | L | 2,2904884 | 0,5338526 | 0,2106881 | 0,0953043 | 0,0454847 | 0,0222366 | 0,0109961 |
| Среднее число объектов в очередях | Lq = L * P | 1,5943947 | 0,1858057 | 0,0366647 | 0,0082926 | 0,0019789 | 0,0004837 | 0,0001196 |
| Полное время ожидания | W | 0,0154242 | 0,003595 | 0,0014188 | 0,0006418 | 0,0003063 | 0,0001497 | 7,405E-05 |
| Время ожидания в очереди | Wq = W * P | 0,0107367 | 0,0012512 | 0,0002469 | 5,584E-05 | 1,333E-05 | 3,257E-06 | 8,054E-07 |