Пределы функции и последовательности. В упрощённом изложении и примерах.
Автор данного пособия – Волков Дмитрий Александрович, опытный репетитор по математике, школьный учитель. Закончил физический факультет МГУ и физико-математическую школу им. А. Н. Колмогорова (ныне СУНЦ при МГУ).
Материал, излагаемый в данном пособии, предназначен для студентов первого курса, изучающих математический анализ.
Особенностью пособия является простота изложения. Автор целенаправленно отходит от строгих определений и доказательств, которыми изобилуют традиционные учебники по математическому анализу, и обращается к понятному любому студенту или даже школьнику арифметическому образу предела функции и последовательности. В пособии на понятном и доступном уровне излагаются самые основные понятия, связанные с пределами, их методами нахождения.
Вопросы, связанные с нахождением пределов, не затронутые в данном пособии, хорошо изложены в классических учебниках:
● В. С. Шипачёв “Основы высшей математики”
● Н. Ш. Кремер “Высшая математика для экономистов”
В конце пособия приведено приложение “Иллюстрация пределов по графикам”
В пособии упоминается задачник Ермакова по математическому анализу. Его можно скачать по ссылке:
https://cloud.mail.ru/public/FbCc/yPiHfyyxD
Контакты автора:
Тел. 8-915-336-19-25, e-mail: dmitri.vda@mail.ru
Сайт автора:
https://dmitrij.ucoz.net
Содержание документа:
Нестрогое (интуитивное) определение предела функции в точке. Первый замечательный предел.– стр. 2
Нахождение предела функции с помощью калькулятора. Второй замечательный предел. – стр. 2-3
Некоторые приёмы нахождения пределов. – стр. 3-4
Введение новой переменной при нахождении предела. – стр. 4
Бесконечный предел в точке. – стр. 4-5
Предел функции на бесконечности. – стр. 5
Последовательность и её предел. – стр. 6-7
Иллюстрация пределов по графикам – стр. 8-9
Нестрогое (интуитивное) определение предела функции в точке. Первый замечательный предел.
Функция 
не определена в точке x = 0, поскольку при x = 0 нельзя найти значение выражения в правой части формулы этой функции:
.
Найдём значение выражения 
при значениях переменной x, очень близких к нулю. Результаты занесём в следующую таблицу:
| x | 0,5 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
|
| 0,95885 | 0,99833 | 0,99998 | 0,99999 |
Из неё видно, что по мере приближения значения x к нулю, значение выражения приближается к единице (становится почти равным единице).
В этом случае говорят, что функция имеет предел в точке x = 0, равный единице, и пишут:
(1)
(читается: “лимит синус икс делить на икс при икс, стремящимся к нулю, равен единице”).
Равенство (1) называется первый замечательный предел.
Определение. Пределом функции f (x) в точке x = a называется число b, к которому приближается (стремится) значение этой функции по мере того, как значение переменной x приближается (стремится) к числу a. При этом принято писать:
(читается: “лимит эф от икс при икс, стремящимся к a, равен b ”).
Примечание. 1. Функция f (x) в точке x = a может быть не определена, в то время как она в этой точке будет иметь предел. Это видно на основании ранее разобранного примера.
2. Данное определение предела функции в точке является нестрогим (интуитивным), но зато понятным большинству студентов.