Математическое моделирование биоэкологических процессов (лекционный курс)
Использование математики в обыденной практике биолога и эколога, как правило, ограничивается статистической обработкой опытных данных, которая позволяет ему обходиться небольшим набором элементарных вычислительных операций. Применительно к этим потребностям прикладная математика для студентов биологического профиля в течение многих лет была представлена дисциплиной "Вариационная статистика", затем - "Биометрия". Вузовские знания по высшей математике оказывались невостребованными и быстро забывались.
Биология, будучи связанной с исследованиями чрезвычайно сложных систем, более чем какая-либо другая наука нуждается в математике для их глубокого осмысления. Это достигается с помощью математического моделирования, без которого, в частности, был бы невозможен прогресс в механике, электродинамике, оптике и других дисциплинах физического профиля, а также базирующихся на них отраслях техники.
Эксперимент обычно позволяет лишь описать явление (часто языком графиков, порою - с помощью эмпирических формул), математическое моделирование дает возможность проникнуть в суть явления, объяснить его.
Несмотря на то, что исходный объект исследования биометрии и математического моделирования единый (биологические системы), методологии этих дисциплин принципиально различаются, да и разработаны они не в равной мере. Если методология биометрии хорошо отработана, то построение математических моделей требует творческого подхода и, как правило, специфично для каждого конкретного случая, хотя последующий математический анализ моделей обычно регламентирован и достаточно прост.
Выполнение расчетов при статистической обработке опытных данных и анализе математических моделей сопряжено с трудоемкой работой, которую существенным образом облегчает использование ЭВМ, от микрокалькуляторов до компьютеров.
Место математики в системе наук
Описательные и точные науки. В прошлом веке возникло и поныне сохраняется деление наук на точные и описательные. К точным относятся науки, которые обладают средствами, позволяющими предвидеть с практически достаточной точностью развитие процессов, изучаемых данной наукой, на требуемом по длительности отрезке времени. Описательные науки представляют собой, по существу, перечень фактов об изучаемых ими объектах и процессах, иногда не связанных между собой, чаще связанных некоторыми качественными соотношениями, хотя не исключены и разрозненные количественные (как правило, эмпирические) связи.
Точные науки представлены математикой, физикой (механика, термодинамика, электродинамика, оптика, квантовая механика), некоторыми разделами химии (химическая кинетика), биохимии (ферментативная кинетика), биофизикой, инженерными дисциплинами и др. Все остальные науки в большей или меньшей степени относятся пока к категории описательных, поскольку находятся еще на описательной стадии своего развития.
Все естественные науки, включая точные, обязательно проходят описательную стадию. Даже математика, "царица" естественных наук, играющая роль их философии (поскольку в "чистом виде" не связана с конкретными процессами, но, в тоже время, в символьной форме отражает глубинные внутрисистемные и межсистемные связи), прошла эту стадию. Механика как древнейший раздел физики стала точной наукой приблизительно три века назад, а остальные дисциплины физического цикла - лишь в XIX веке.
Академик А.А. Дородницын выделяет в развитии естественных наук пять параллельно идущих русел (рис. 1), которые, однажды возникнув, продолжают свое существование.
5
4
3
2
Рисунок 1. Схема становления точных наук (цифрами обозначены русла, стрелками их взаимодействия)
Любая наука начинается с систематического накопления информации об интересующих ее объектах (первое русло).
Одновременно или почти одновременно с накоплением этой информации начинается процесс ее упорядочения - классификация объектов (второе русло). Эти два русла (накопление информации и ее упорядочение) находятся в постоянном взаимодействии.
Третьим руслом в развитии науки является установление связей и соотношений (качественных и количественных) между исследуемыми объектами. Связи устанавливаются эмпирически и не доказываются.
Эти три русла характеризуют описательную стадию развития науки, которая может длиться тысячелетиями, пока не произойдет переход количества в качество. Количество накопленных сведений о связях и соотношениях между объектами позволяет в этот период выделить из них определяющие, из которых другие могут быть выведены уже без эксперимента, путем дедукции.
Переход в разряд точных наук начинается с попыток построения математических моделей процессов, изучаемых ей. Однако математическая модель может строиться при наличии количественно оцениваемых величин, характеризующих существенные свойства объекта исследования.
Установление величин и построение математических моделей является соответственно четвертым и пятым руслами, которые превращают описательную науку в точную.
Эти два русла постоянно связаны с первыми тремя руслами.
Переход к точной стадии развития науки наступает тогда, когда результаты анализа математической модели достаточно полно и точно согласуются с фактами, полученными в третьем русле. Таким образом подготавливается создание теоретической биологии, излагающей в формализованном виде биологическое знание. Построение общей биологической модели началось с разработки математических моделей конкретных явлений, на основании которых создаются модели более высокого уровня - частные. Объединение последних позволит создать общую модель.
Отставание биологии от других естественных дисциплин, в частности от физики, на пути превращения в точную науку связано с величайшим многообразием биологических объектов (все еще выявляются новые виды организмов), сложностью их строения и функционирования, богатством связей внутри организмов и между ними, искусственным созданием новых пород, сортов и штаммов организмов. В связи с этим, в зависимости от иерархического уровня, на котором работает ученый, степень перехода в разряд точных наук разная. Наибольших успехов на этом пути добились кинетика ферментативных реакций, исследования в области динамики численности популяций, биофизика и некоторые другие разделы биологии, заимствовавшие модели и величины уже состоявшихся точных наук. В частности, плотность популяции, используемая в моделях экологии и промышленной микробиологии, является аналогом концентрации молекул — важнейшей величины в уравнениях химической кинетики.
Однако пятью руслами развитие естественных наук не ограничивается. После создания математических моделей появляется возможность целенаправленного воздействия на исследованные системы, а также создания новых, не встречающихся в природе объектов. Так, на основе достижений молекулярной биологии конструируются геномодифицированные объекты, не говоря уже о ранее полученных селекционерами новых сортах растений и породах животных. Не исключено, что для широкого освоения океанических глубин будут созданы расы людей, способные, подобно беляевскому человеку-амфибии, свободно жить как в воздушной, так и в водной средах. Более того, на основе достижений нанотехнологии и глубокого освоения жизненных процессов можно будет оснащать организм человека интегрированными техническими системами, расширяющими его возможности в неизмеримо большей мере, чем уже применяемые средства (микроскопы, телескопы и т.д.). Развивается шестое — проективное русло, в котором человек будет конструировать новые организмы и интегрированные системы (человек-машина) так, как это делает инженер при создании технических устройств (сейчас такие технологии применяются в генетической и клеточной инженерии, а также в военном деле при оснащении бойца экзоскелетом, средствами ориентации и др.).
Математические методы в биологии по характеру решаемых задач подразделяются на две группы. К первой группе, которой посвящен раздел "Биометрия", относятся методы, используемые при планировании и статистической обработке опытных данных. Вторая группа включает методы, с помощью которых осуществляется построение и анализ математических моделей биологических систем; они рассмотрены в разделе "Математическое моделирование биологических систем". ЭВМ и программирование, о которых говорится в разделе с таким же названием, по отношению к биометрии и математическому моделированию играют подсобную роль, связанную, преимущественно, с выполнением вычислительных работ.
Первичную информацию об интересующем явлении человек получает с помощью наблюдения или специально спланированного эксперимента, который в настоящее время является важным источником научного знания. Во многих случаях объект исследования выступает в роли известного из кибернетики "черного ящика" - системы, о внутреннем строении которой ничего не известно или оно очень сложно. Чтобы получить функциональную характеристику системы, на нее оказывают различного рода внешние воздействия. В ответ на эти, так называемые, входные воздействия система реагирует изменением своих параметров (выходных величин), значения которых после каждого воздействия регистрируются исследователем. Часто такого рода эксперименты преследуют чисто утилитарную цель: установив количественную связь между входными воздействиями и выходными величинами, человек в своих интересах может управлять системой. При построении графиков, отражающих функциональные характеристики "черного ящика", на оси абсцисс (X) откладывают значения входных воздействий, на оси ординат (Y) - соответствующие им значения выходных параметров. Приведенный способ исследования систем часто используется в технических и естественных науках, сельскохозяйственной практике, медицине, психологии и т.д. При работе с биологическими объектами отсутствует жесткая (однозначная) связь между входными воздействиями и выходными величинами. Чтобы в условиях такой неоднозначности с определенной достоверностью охарактеризовать эту связь, требуется статистическая обработка результатов опыта. Математико-статистические расчеты требуются практически во всех биологических исследованиях независимо от цели, которую они преследуют, и в этом проявляется обслуживающая роль биометрии по отношению к эксперименту. Связь между биометрией и экспериментом двухсторонняя: с помощью биометрических расчетов биолог не только обрабатывает опытные данные (стрелка 1 на рис. 2), но и планирует грамотную постановку эксперимента (2).
Рисунок 2. Структурная схема применения математических методов в биологии. Нумерованными стрелками обозначены взаимосвязь разделов математической экологии и связь их с объектом исследования
Исходным материалом для математического моделирования являются результаты наблюдений и экспериментов, с учетом которых в конечном счете строится математическая модель биологической системы (уравнение или система уравнений разной степени сложности), после чего производится ее анализ по правилам математики. Для проверки соответствия модели той реальности, которую она отражает, необходим эксперимент (3). Он планируется таким образом, чтобы можно было оценить сходимость значений, полученных расчетным путем на основании модели, с аналогичными опытными значениями. Одновременно проверяются и выводы, которые вытекают из математического анализа модели. Если между результатами, предсказанными моделью, и опытными данными обнаруживаются расхождения, то производят корректировку модели и опыт повторяют. В этом проявляется влияние объекта исследования (через эксперимент) на процесс математического моделирования (4).
Между биометрией и математическим моделированием также существует двухсторонняя связь. Опытные данные, получаемые в результате проверки модели, подвергаются статистической обработке (5), а вытекающие из нее выводы подтверждают или опровергают адекватность модели описываемому процессу (6). Таким образом, и по отношению к математическому моделированию биометрия выполняет обслуживающую роль, лишь проверяя степень соответствия модели реальному явлению.
Методы биометрии имеют дело непосредственно с данными эксперимента, которым начинается исследование. Математико-статистическая обработка этих данных может завершиться даже выводом эмпирического уравнения, обеспечивающего достаточно точное количественное соответствие расчетных и опытных значений исследуемых показателей. Однако такого рода уравнения обычно не раскрывают глубинную сущность связи между входящими в них величинами, являясь лишь более или менее удачной "подгонкой", удобной для практических целей. Такой метод исследования характерен для экспериментальной биологии, которая не является в этом отношении исключением среди других естественных наук: в частности, существуют экспериментальная физика, экспериментальная аэродинамика и т.д.
Математическое моделирование, напротив, начинается с уравнения или системы их, выведенных на основании умозрительного (в хорошем дословном понимании: "зрить умом") анализа исследуемого явления. Эксперимент же нужен лишь для проверки математической модели на ее соответствие действительности. Модель является непосредственным объектом исследования, которое проводится с использованием методов математики. Такой подход характерен для теоретической биологии, опять же не составляющей исключения среди естественных наук: известны теоретическая физика, теоретическая аэродинамика и т.д. Математическая модель делает биологическую систему "прозрачной" для понимания и доступной для последующего управления в интересах человека.
Подразделение биологии на экспериментальную и теоретическую обусловлено различием методов, которые используются при изучении единого для них объекта исследования. Хотя эти науки и обладают определенной степенью автономности, в настоящее время развиваются, взаимодействуя между собой и удачно дополняя друг друга.
ЭВМ и программирование являются сравнительно недавним пополнением математических методов в биологии. По отношению к биометрии и математическому моделированию они выполняют хотя и вспомогательную, но очень существенную роль. Если на начальном этапе использования ЭВМ в биологии преследовалась цель только ускорения и облегчения вычислительных работ, то после появления диалога между человеком и машиной, по словам академика Н.Н. Моисеева, "оказалось возможным экспериментировать с математическими задачами - машинный эксперимент постепенно утвердился как метод исследования математической модели". Связь ЭВМ и программирования с биометрией и математическим моделированием биосистем преимущественно односторонняя (7,8): совершенствование ЭВМ и техники программирования идет самостоятельным путем.
Место математических методов в системе биологических наук
Биологическое знание добывается большим числом специализированных наук, имеющих свои "экологические ниши" и использующих свои специфические методы исследования. Факты для научного осмысления исследователи получают путем наблюдения или с помощью специальным образом спланированного эксперимента. Существуют определенные методы планирования и проведения наблюдений и экспериментов, разработаны и используются самые разнообразные приборы, инструменты, реактивы и т.д.
Математические методы в биологии также имеют свою специфику. Прежде всего они непосредственно не связаны с биологическими объектами, поэтому им не требуется экспериментальная техника, реактивы и прочие атрибуты, с помощью которых в полевых или лабораторных условиях добываются научные сведения. Непосредственным объектом исследования для математических методов является цифровой или графический (легко переводимый в цифровую форму) материал, полученный в процессе наблюдения или эксперимента, и математические модели. С биологическим объектом математические методы связаны через эксперимент (или наблюдение). В цепочке исследовательского процесса они максимально приближены к терминальной стадии - формированию научных выводов, которые и являются целью познания.
Математические методы имеют свою научную базу, которую, прежде всего, представляют различные разделы математики. Биометрия базируется преимущественно на теории вероятностей и математической статистике. Математическое моделирование дополнительно использует алгебру, совокупность разделов, традиционно входящих в высшую математику, а также основные положения теорий информации, надежности, автоматического регулирования и управления и др. Кроме того, для построения математических моделей биологических систем необходимо знание количественных закономерностей из области других естественных наук (химии, многих разделов физики, наук о Земле и Вселенной и т.д.). Техническое оснащение математических методов непосредственного контакта с биологическими объектами не имеет.