Геометрическая интерпретация ДУ 1порядка
Такие отрезки наз. направлениями данного ДУ. ДУ 
определяет в области поле направлений. Пусть 
есть интегральная кривая ДУ . Если эта кривая проходит через т.-у 
, то очевидно 
и 
. Следовательно, интегральная кривая в т.-е 
касается направления уравнения, и наоборот, если кривая находится в области D и в каждой т.-е 
она касается направления данного уравнения, то 
, а значит, 
явл. интегральной кривой этого ур-ния. Поэтому проинтегрировать ДУ в области D, значит найти в этой области все кривые, которые в каждой т.-е касаются направления уравнения.
Вопрос 3. Обратная задача интегрирования ДУ. Интегрируемость в квадратурах в замкнутом виде.
Найти ДУ для которого ур-ние 
определяет общее решение. Дифференцируем его: 
; 
Теорема о неявном переходе: 
и 
-искомое ДУ.
Процесс нахождения решения ДУ наз. интегрированием этого ДУ. Если при этом удается выразить все решения в элементарных ф-циях, то говорят, что ур-ние проинтегрировано в элементарных ф-циях. Если ур-ние не интегрируется в элементарных ф-циях, но все его решения выражаются через неопределенные интегралы от элементарных ф-ций, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах. Квадратурой наз. операция взятия неопределённого интеграла.
Если уравнение удается проинтегрировать в элементарных ф-циях или в квадратурах, то говорят, что оно интегрируемо в конечном виде.
Вопрос 4. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ 
, которое можно записать в виде: 
, где g(x) и h(x)-ф-ции, определенные на интервалах (a,b) и (c,d) соответственно, наз. уравнением с разделяющимися переменными.
Ур-ние c разделяющимися переменными 
где 
относительно своих аргументов. 
ДУ с разделёнными переменными 
Если ф-ции g(x) и h(y) непрерывны на интервалах (a,b) и (c,d) соответственно и при этом 
для каждого 
, то интеграл ДУ с разделяющимися переменными вычисляется по ф-е: 
, где С-произвольная постоянная.
Теорема( 
и! решения задачи Коши) Если ф-ции g(x)и h(y)непрерывны на интервалах (a,b)и(c,d) соответственно и при этом для любого , а также если 
, 
, то задача Коши 
имеет только одно решение.
Уравнение вида 
приводятся к уравнению с разделяющимися переменными заменой 
, с=const.
Вопрос 5. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним. Геометрические свойства семейства интегральных кривых.
ДУ 
наз. однородным, если в нем ф-ции M(x,y) и N(x,y), определенные в области D, явл. однородными одной и той же степени. Это уравнение приводиться к виду 
.
Как решать:
а)замена переменных y=ux, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными вида 
, где 
.
в)замена 
, где m вычисляется после замены, т.к. степени всех его членов должны быть равны между собой.
Теорема( и! решения задачи Коши) Если ф-ция g(x) непрерывна на интервале (a,b)и удовлетворяет условию 
, то задача Коши 
, 
, где 
, имеет только одно решение.
Уравнения, приводящиеся к однородным.
-не явл. однородным 
Потребуем 
(1), для системы 
решение. Пусть 
-решение. Введём замену 
,где 
- числа, т.к. 
-числа. Х-старая независимая переменная, а 
- новая. У-старая искомая ф-ция, а -новая. Подставим замену в начальное уравнение: 
Пусть(1) не выполняется: а) 
б) 
Замечание. Ур-ние 
, где f-некоторая ф-ция, всегда могут быть проинтегрированы в квадратурах.