Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций

Df Положительно определенная в окрестности U т. – u = функция V() называется функцией Ляпунова системы (1), если V′ () ≤0, U.

Здесь символ V′ () называется производной функции V() в силу системы (1). Это значит, что V′ ()=

Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.

Пункт А. Теорема Ляпунова об устойчивости.

Теорема. Если для системы(1) в области U, т.е. в окрестности положения равновесия знакоопределенная функция V(), производная которой по времени V′ () взятая в силы системы(1) является знакопостоянной функцией знака противоположного знаку функции V(), то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова (утойчиво по Ляпунову).

Другая формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости. Если в некоторой окрестности U положение равновесия функция Ляпунова V(), то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство: Пусть состояние равновесия является начало координат, т.е. т. . Выберем число > 0, так чтобы шар K , такой что | |< лежал в окрестности U т... =О

Пусть S является границей шара K , т.е. это сфера радиуса или | |= , т.к. S - замкнутое ограниченное мн. функция V() – непрерывна в нем и положительна на S (т.е. V() >0 на S ), то минимальное значение функции V() =K>0.

Рассмотрим шар K , такой что | | и пусть этот шар содержится в U. Т.к. V()=0, то величину >0 можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство V() <K при K

Такой выбор можно сделать в силу непрерывности функции V(). Покажем, что если | |< , то |x(t, )|< для любого t [0;∞). Ч.Т.Д,

Т.к. V′ () 0, следовательно V() – функция Ляпунова в U и V( <K., то V()<K, V [0; ∞).

 

Причем, последнее неравенство выполняется??? фазовой траектории = (t, ), а это значит, что траектория, которая начинается в шаре K не может пересечь границы K , т. к. V()<K на траектории и V()=K на S .

Пункт Б Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Теорема. Если для системы (1) знакоопределенная функция V() полная производная которой по времени найдена в силу системы (1) является также знакоопределенной, знакопротивоположной с V(), то положение равновесия асимптотически устойчиво(устойчиво по Ляпунову ).

Другая формулировка: пусть в некоторой окрестности U положение равновесия функция Ляпунова V(), такая что V′ () в силу системы (1) является отрицательно-определенной в U, тогда положения равновесия ассимптотически устойчивой.

Без доказательства.

Пункт В. Теорема Ляпунова о неустойчивости.

Если функция V(), имеющая знакоопределенную V′ () и такая, что в V окрестности U т. – и , функция V′ () не является знакопостоянной, знакопротивоположно с V(), то положение равновесия не устойчиво.

Теорема Читаева о неустойчивости. Пусть функция V() непрерывно диффиренцируема в области U₁ U, V()>0 и V′ () >0, где U₁и кроме того V()=0 в тех точках области U_1, которые лежат внутри области U и явл. граничными для области U₁, тогда положение равновесия не устойчиво.

 

Вопрос 27. Рассмотрим линейную однородную систему записанную в векторной форме (1),где матрица А образована из пост действительных или комплексных чисем. Очевидно (1) имеет состояние равновесия . Для дальнейшего рассуждения сформулируем теорему о приведении м А к почти диагональному виду.

Т. Всякую квадратную матрицу порядка n можно привести к почти диаг виду, т.е. существует м. Т такая, что АТ=Л+ , где Л-диаг м., элементами которой явл все собственные значения м. А, а ядля элем м. имеет место оценка < , где положительное число можно выбрать сколь угодно малым

Т.Положение равновесия сист (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда действительные части всех собственных значений м.А явл. отрицательными.

След1: Если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной действительной частью, то нулевое решение системы (1) не устойчиво.

След2:Если характеристическое уравн сист (1) не имеет корней с положительной действительной частью, но имеется ряд корней с нулевой положительной частью, то может иметь место нач. устойчивость (но не асимптотическая) так и неустойчивость нулевого решения этой системы.

Критерий Рауса-Гурвица:

Дано уравнение (1) записано характеристическое ур. (2) = + +..+ + =0

Будем считать, что коэф- действительные числа. Из коэф мн-на (2) составим матрицу:

А=

Члены с инд. > чем n и < 0 =0

Образуем диаг. Определ из диагональной матрицы:

=

=

…

=detA, т.к. последняя строка все нули кроме , то =

Т(критерий Рауса-Гурвица)

Для того, чтобы все корни ур.(2) имели отрицательные действительные части необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

>0 k=1,n

Пример для квадратного уравн + + =0

Этот критерий имеет вид >0, >0 следовательно

Пример для уравн 3ого порядка + + =0

>0 , >0, >0,

 

Вопрос 28. Рассмотрим сист. (1), - дважды непрер-диф в некоторой окр. U т. . Разложим вектор ф-ции по ф-ле Тейлора = ()()+ (2)

Если т , достаточно близки, т.е. U т (), то ()()+

Отбросив в (2) не лин. Члены получим систему (3), где , А=f ()

Сист (3) наз линеаризованной для сист (1) в окр состояния т

Переход от не линейной системы (1) к лин. Системе (3) наз линеаризацией сист (1). При этом линеаризов. сист- это система линейная с пост коэф.Эта система интегрируется и поэтому устойчивость положения равновесия легко находится.

Покажем, что по структуре положения равновесия очень часто можно судить судить об устойчивости линейных ситсем вида (1)

Т Ляпунова об устойчивости по лин приближению:

Если положение равновесия линеаризироной системы асимптотически устойчиво, то положение равновесия не линейной системы также асимптотически устойчиво.

Неустойчивость по линейному приближению:

Т. Пусть дважды непрер диф в некоторой окрестности положения равновесия ,если м. Якоби имеет собственные значения с положительной действительной частью, то положение равновесия не устойчиво.

 

Вопрос 29. Предположим, что при линеаризации получим однородную лин сист вида

, где -действительные числа

Пусть x= , y= действительное решение системы, тогда ур. x= , y= определена кривой на плоскости XOY, эта кривая наз. Фазовой траекторией системы (1). А картина, которая образует фазовую траекторию системы (1) наз. фаз. портретом этой сист. Одной из фазовых траекторий сист (1) , следует,что фазовая траектория система явл точкой с коорд (0,0). Такая точка наз точкой покоя или состоянием равновелия сист(1). Как известно сист. (1) легко интегрируется а следовательно можно построить фазовый портрет этой системы, который опред в зависимости от знач корней характер уравн. Пусть , явл корнями характер уравн вида =0 корни такого уравн наз собственными значениями матрицы А. Поскольку коэф при неизвестных сист (1) действительные числа, поэтому возможны 2а варианта:

1) Корни , -действит

2) , -корни сопряж

Пусть оба корня действит: тогда собственные вектора можно взять действительными, а тогда всякое решение системы имеет вид x(t)= + (2), - произвольн пост, а x(t) имеет координаты (x(t), y(t)). Векторы образуют базис на плоскости. Пусть , координаты вектора x(t) в этом базисе, т.е. , (3)

Рассмотрим несколько случаев зависящих от знака корней характер уравн:

1) , -действит одного знака <0

Если , то фазовой траекторией явл ось В результате получим портрет, такое сост равновесия наз устойчивым узлом. α= следует, что фазовые траектории имеют вид парабол

2) Пусть , >0. Фазовый портрет такой же как описано выше, только стрелки в другом направлении.Такое положение равновесия наз неустойчивым узлом

3) , <0. Если то имеем , = , при t ∞, а если , то имеем , ∞, при t ∞. Еще два луча получ, если ,

. В результате траекторией системы (1) явл 4е луча. 2а из которых примыкают к т (0,0) при t ∞,а 2а других выходят из этой точки, при t ∞.Или можно сказать входят в нач координат при t ∞. 2а луча наз. Сепаратрисами седла, т.к. положение равновесия в этом случ наз седлом. Если , и траектория имеет вид гипербалоида. Такое сост наз седлом.

Положение седло всегда неустойчиво.

4) , - компл корни

, тогда всякое реш сист (1) имеет вид (2), а всякое действительное решение сист (1) имеет вид + (4)

Пусть , = , c=a+bi,

Будем считать, что , -действит, тогда .Если оба корня чисто мнимые, т.е. , , следует, что фазовая траектория явл элиплом, Направление обхода зависит от знака .Если , то обход против часовой стрелки:

Нач координат явл устойчивым полож равновесия, но не ассимптотич.

Пусть , то траектория сист (1) явл спиралями, коротые закругляются в нач координат при t ∞.Такое положение равновелия наз устойчивый фокус, если , только направл движ меняется на противоположное. Такое положение равновесия наз неустойчивым фокусом.

 

Вопрос 30. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям первого порядка с частными производными.

a) Уравнение поверхностей

Рассмотрим в некотором пространстве поверхность , образованную вращением около оси кривой , расположенной в плоскости . Уравнение этой поверхности имеет вид (1), где – достаточно гладкая функция. Продифференцируем (1) по и по . Получим:

или (2)

Получим уравнение, содержащее 4 производные первого порядка относительно неизвестной функции . Графиком решения является поверхность в трехмерном пространстве , и эта поверхность называется интегральной поверхностью уравнения (2).

b) Рассмотрим функцию вида:

, где - постоянная, - время, - пространственная координата.

Её график в момент времени получается из графика функции в момент времени со сдвигом на расстояние вдоль есть волна, бегущая вдоль со скоростью . Т.к. и , то функция удовлетворяет ДУЧП: