Пример 1. Вероятность безотказной работы в течение определенного времени некоторого прибора равна 0,8. Прибор дублируется таким же прибором при помощи переключателя, вероятность срабатывания которого 0,95. Какова вероятность безотказной работы всей схемы?
Пусть А – событие, состоящее в безотказной работе схемы. Т.к. это событие состоит либо в работе основного прибора (событие 
), либо в работе дублера (событие 
), то 
. Т.к. для работы дублера необходимо отключение основного прибора (событие 
), срабатывание переключателя (событие 
) и включение дублера (событие 
), то является произведением трех событий: 
. Тогда
Пример 2. Прибор состоит из 5 блоков, выход из строя каждого означает выход из строя всего прибора. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока, чтобы обеспечить вероятность безотказной работы всего прибора, равную 0,9?
Пусть р – вероятность события 
– безотказной работы отдельного блока, А – безотказная работа всего прибора. Т.к. для работы всего прибора необходима работа всех блоков, событие А будет произведением событий:
.
Вероятность события А будет произведением вероятностей:
.
Откуда 
.
Пример 3. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что второй студент взял «хороший» билет.
Пусть А – интересующее нас событие. Его можно представить следующей комбинацией событий: 
. Здесь 
– первый студент взял «хороший» билет и второй взял «хороший» билет; 
– первый студент взял «плохой» билет, а второй взял «хороший» билет. Тогда
.
Пример 4. Двигатель работает в двух режимах: нормальном и форсированном. При нормальном режиме вероятность выхода из строя 0,1; при форсированном – 0,7. 80% времени двигатель работает в нормальном режиме, 20% – в форсированном. Какова полная вероятность выхода из строя двигателя?
Пусть событие А – выход двигателя из строя. Возможны следующие гипотезы: 
– выход из строя произошел в нормальном режиме; 
– выход из строя произошел в форсированном режиме. Тогда полную вероятность события А можно найти по формуле:
;
и 
– вероятности события А при каждой гипотезе. Итак
.
Пример 5. Имеются 6 ящиков первого состава, в каждом из которых по 5 шаров: 2 белых и 3 черных; и 4 ящика второго состава, в каждом из которых по 8 шаров: 6 белых и 2 черных. Из наугад взятого ящика наугад достали шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что он был вынут из ящика с 5 шарами.
Полную вероятность события А, состоящего в том, что достали черный шар, можно найти по формуле:
.
Здесь гипотеза – выбор ящика первого состава, гипотеза – выбор ящика второго состава; и – вероятности события А при каждой гипотезе. Тогда 
. По формуле гипотез (формуле Байеса) найдем искомую вероятность:
.
Пример 6. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,7; второй – 0,75; третий – 0,8. Найти вероятность того, что
а) в течение смены ровно один станок потребует внимания рабочего;
б) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?
Обозначим , и 
события, состоящие в том, что, соответственно, первый, второй и третий станки потребуют внимания рабочего; 
, 
и 
– противоположные им события; В – в течение смены ровно один станок потребует внимания рабочего; С – хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
а) 
;
;
б) Здесь возможны 2 способа решения. Первый способ учитывает то обстоятельство, что оборот хотя бы один станок означает: либо один станок потребует внимания рабочего, либо два станка, либо все три. Тогда
Во втором способе используется вероятность противоположного события 
– ни один станок не потребует внимания рабочего. Тогда
