Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых. А также умножение - это математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. [8, с 176] По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся последующим правилам:
а×b=a+a+a+a+a+…+a, при b>1×1=a, при b=1×0=0, при b=0
Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых. Запись вида 2 ×4=8 подразумевает сокращение записи вида 2+2+2+2=8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8». Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.
С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно. [1,с 138]
Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Знание табличных случаев должно быть доведено до автоматизма, так как только в этом случае учащиеся смогут успешно справиться с устными вычислениями при умножении и делении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на двузначное, а также с письменными случаями умножения и деления. Но это не значит, что дети должны механически зубрить готовые таблицы. Речь идет о формировании сознательных навыков, основанных на понимании смысла действий умножения и деления; на умении применять переместительное свойство умножения; на усвоении взаимосвязи между компонентами - и результатом действия умножения. [6, с 74] К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых). Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.
Например:
Умножение числа 2
Вычисли и запомни: O O
+ 2 2 * 2 O O
+ 2 + 2 2 * 3 O O
+ 2 + 2 + 2 2 * 4 O O
+ 2 + 2 + 2 + 2 2 * 5 O O
Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне' приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.
При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату.
Например:
Вычисли и запомни:
×6=2×5+2=...
×7=2×6+2=…
×8= 2 ×7+2=…
×9=2×8+2=...
Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.
Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:
От перестановки множителей произведение не меняется.
Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.
Например: O O 2 ×3 = 6
O 3 × 2 = 6O
Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.
Для запоминания таблицы умножения существуют такие приемы как:
прием счета двойками, тройками, пятерками;
прием последовательного сложения - основной прием получения результатов табличного умножения. Данный прием связан со смыслом действия умножения как сложения одинаковых слагаемых;
прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата).
прием взаимосвязанной пары: 2 × 6 × 6 ×2 (перестановка множителей);
прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя;
прием «порции»;
прием запоминающегося случая в качестве опорного. Например, 5 × 6 =30, значит 5 ×7 =30+5 =35;
прием внешней опоры; В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Детям, которые обладают плохой механической памятью, можно па первых порах предложить использовать клетчатое поле тетради. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет. Например:
×5 = 20
прием запоминания таблицы «с конца»;
пальцевый счет при запоминании таблицы умножения. Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца - это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой - четыре пальца. Эти числа перемножаем 3 ×4=12 и прибавляем к числу имеющихся десятков 30+12= 42. Ответ: 6 ×7=42.
Смысл действия деления
Действие деления рассматривается в начальной школе как действие, обратное умножению. Деление - это обратное умножению математическое действие: нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. [10, с 944] С теоретико-множественной точки зрения смыслу деления соответствует операция разбиения множества на равночисленные подмножества. Таким образом, процесс нахождения результатов действия деления связан с предметными действиями двух видов:
а) разбиение множества на равные части (например, 8 кружков разложили в 4 коробки поровну - раскладывают 8 кружков по одному в 4 коробки, а затем считают, сколько кружков получилось в каждой коробке);
б) разбиение множества на части по сколько - то в каждой части (например, 8 кружков разложили в коробки по 4 штуки - раскладывают 8 кружков по 4 штуки в коробки, а затем считают, сколько получилось коробок; деление по этому принципу в методике называют «деление по содержанию»).
Используя подобные предметные действия и рисунки, дети находят результаты деления.
Выражение вида 12:6 называют частным. Число 12 в этой записи называют делимым, а число 6 - делителем. Запись вида 12:6=2 называют равенством. Число 2 называют значением выражения. Поскольку число 2 в данном случае получено в результат деления, его также называют частным.
В начальной школе действие деления рассматривают как действие обратное умножению. В связи с этим сначала дети знакомятся со случаями деления без остатка в пределах 100 - так называемым табличным делением. С действием деления дети знакомятся после того, как уже выучили наизусть таблицы умножения чисел 2 и 3. На основе знания этих таблиц уже на четвертом уроке после знакомства с делением, составляется первая таблица деления на 2. Для получения ее значений используют предметный рисунок.
:2=… 8:2=… 14:2=…
:2=… 10:2=… 16:2=…
:2=… 12:2=… 18:2=…
Значения частных в этой таблице получают подсчетом элементов рисунка на картинке.
Приемы запоминания табличных случаев деления связаны со способами получения таблицы деления из соответствующих табличных случаев умножения.
прием, связанный со смыслом действия деления. При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.
прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления. В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например:
×7=2121:7=3 21:3=7
Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный -это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умножения, то, используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи. [1, с 138]
Таким образом, при изучении действия умножения и деления ученикам необходимо знать смысл действия умножения и деления, табличные случаи умножения и деления.