Профиль «Экономика предприятий и организаций»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(СамГУПС)

 

Кафедра «Экономика и финансы»

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

 

по дисциплине Б3.Б.3 «ЭКОНОМЕТРИКА»

Для направления подготовки: 080100 (38.03.01) «Экономика»

Профиль «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Профиль «Финансы и кредит»

профиль «Экономика предприятий и организаций»

 

Разработчик: _____________/Е.А.Герасимова/

 

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры

от «_____» _____________ 20 ___ г., протокол № ________

 

Зав.кафедрой ______________/П.А. Первов/

 

Тема 1 Эконометрика и эконометрическое моделирование

 

1. Предмет и цель эконометрики, ее место в ряду математических и экономических дисциплин.

2. Понятие эконометрического моделирования.

3. Измерения в экономике.

1. Предмет и цель эконометрики, ее место в ряду математических и экономических дисциплин.

Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Название "эконометрика" было введено в 1926 году норвежским экономистом и статистиком РагнаромФришем. Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Суть эконометрики – в синтезе экономики, статистики и математики.

Говоря об экономической теории в рамках эконометрики, мы будем интересоваться не просто выявлением объективно существующих законов и связей между экономическими показателями, но и подходами к их формализации, включающими в себя методы спецификации соответствующих моделей с учетом проблемы их идентифицируемости.

При рассмотрении экономической статистики как составной части экономики нас будет интересовать лишь тот аспект, который непосредственно связан с информационным обеспечением анализируемой эконометрической модели.

Под математико-статистическим инструментарием эконометрики понимаются лишь отдельные разделы математики, такие как классическая и обобщенная линейные модели регрессионного анализа, анализ временных рядов, построение и анализ систем одновременных уравнений.

2. Понятие эконометрического моделирования.

Понятие эконометрического моделирования включает решение следующих проблем:

- постановку задачи проблемы;

- качественный анализ связей экономических переменных, т.е. выделение зависимых и независимых переменных;

- подбор данных;

- спецификация формы связи между и ;

- оценка параметров модели;

- интерпретация результатов;

- проверка модели на адекватность.

3. Измерения в экономике.

Признаками измерения называют получение, сравнение и упорядочение информации. То есть измерение предполагает выделение некоторого свойства, по которому производится сравнение объектов в определенном отношении.

Другое понимание измерения исходит из числового выражения результата, т.е. измерение трактуется как операция, в результате которой получается численное значение величины, причем числа должны соответствовать наблюдаемым свойствам, фактам, качествам, законам науки.

Третий подход к измерению связан с обязательным наличием единицы измерения (эталона). Это определение измерения в узком смысле.

Любому измерению предшествует качественный анализ, учитывающий цели исследования. Качественный анализ необходим и после того, как измерение произведено, для того, чтобы оценить адекватность результатов измерения объектов поставленным целям.

Специфика экономических измерений состоит в наличии большого числа разнородных данных – разнородных ресурсов и разнородных результатов (например, товаров и услуг). Отсюда большое значение имеют стоимостные метрики и натуральные.

Количественная определенность функционирования экономики имеет объемные и структурные характеристики. Объемные характеристики определяют масштаб явления, а структурные – его разнообразие, организацию и соподчиненность. Количественные и структурные меры дополняют друг другу. Так, измерение объема теневой экономики дает возможность уточнить ВВП и все производные показатели, а измерение ее удельного веса в ВВП позволяет судить о распространенности этого явления и степени его подконтрольности.

Экономические измерения осложняются существованием латентных характеристик (латента – переменная непосредственно ненаблюдаемая), которые непосредственно неизмеримы. Для выражения латентной переменной требуется найти какой-либо индикатор.

Представления о точности измерений могут быть получены из анализа погрешностей. Точность измерения – это его адекватность. Универсальные критерии точности отсутствуют. Критерий точности каждого вида измерения определяется в соответствии с целями этого измерения. Погрешности измерения не сводятся к арифметическим погрешностям.

 

 

Тема 2 Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях– ЛЕКЦИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ

 

1. Спецификация модели. Ошибки спецификации. Методы определения регрессии.

2. Смысл и оценки параметров линейной регрессии.

3. Оценка существенности параметров линейной регрессии.

4. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

5. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

6. Средняя ошибка аппроксимации.

1. Спецификация модели. Ошибки спецификации. Методы определения регрессии.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой уравнение связи двух переменных и , то есть модель вида

,

где - зависимая переменная (результативный фактор);

- независимая или объясняющая переменная (признак фактор).

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели – формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными.

Сначала из всего круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который используется в качестве объясняющей переменной.

Предположим, что выдвигается гипотеза о том, что величина спроса на товар А находится в обратной зависимости от цены , то есть

. (1)

В этом случае необходимо знать, какие остальные факторы предполагаются неизменными, возможно в дальнейшем их придется учесть в модели и перейти от парной регрессии к множественной.

Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем в целом по совокупности наблюдений. Так, если зависимость спроса от цены характеризуется, например, уравнением , то это означает, что с ростом цены на 1 д.е. спрос в среднем уменьшается на 2 д.е.

В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией. Практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых

, (2)

где - фактическое значение результативного признака;

- теоретическое значение результативного признака, найденное из уравнения регрессии (1);

- случайная величина, характеризующая отклонение реального значения от теоретического, найденного по модели.

Случайная величина также называется возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками:

- спецификацией модели;

- выборочным характером исходных данных;

- особенностями измерения переменных.

Подставив выражение (1) в выражение (2), получим линейную регрессию

.

Обратная или прямая зависимость не всегда характеризуется линейной функцией. От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения подходят к фактическим данным .

К ошибкам спецификации будут относиться не только неправильный выбор той или иной математической функции для , но и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, то есть использование парной регрессии вместо множественной. Так, спрос на конкретный товар может определяться не только ценой, но и доходами на душу населения.

Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, поскольку исследователь чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерностей связи между признаками. Ошибки выборки также имеют место в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности. Если совокупность неоднородна, то уравнения регрессии не имеют практического смысла.

Использование временной информации также представляет собой выборку из всего множества хронологических дат. Изменив временной интервал, можно получить другие результаты регрессии.

Наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками. Особенно велика роль ошибок измерения при исследовании на макроуровне. Так, в исследованиях спроса и потребления в качестве объясняющей переменной широко используется доход на душу населения. Вместе с тем статистическое измерение величины дохода сопряжено с рядом трудностей и не лишено возможных ошибок, например в результате наличия сокрытия доходов.

Предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:

1. графическим;

2. аналитическим;

3. экспериментальным.

При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнений регрессии достаточно нагляден, он основан на поле корреляции.

Основные типы кривых, используемых при количественной оценке связей между двумя переменными, представлены на рис.1.

Слайд 1

y

y

x

x

1. прямая (линейная)

2. парабола

y

y

x

x

3. равносторонняя гипербола

4. полином 3-го порядка

y

y

x

x

5. степенная

6. показательная

Рис.1. Основные типы кривых, используемых при количественной оценке связей между двумя переменными

Для описания связи двух переменных также используются и другие типы кривых, в том числе логистическая кривая (см. рис.2), частный вид которой представляет собой , где - время.

Слайд 2

y

t

Рис. 2 Логистическая кривая

Эта кривая характеризует развитие показателя во времени, когда ускоренный рост в начале периода сменяется замедляющимся темпом роста вплоть до полной остановки, что на графике соответствует отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Используется для описания развития производства новых товаров, роста численности населения и т.д.

Также используется аналитический метод выбора типа уравнения регрессии, который основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Пусть, например, изучается потребность отделения дороги в электроэнергии в зависимости от объема перевозок . Все потребление электроэнергии можно подразделить на 2 части;

- не связанное с перевозками ();

- непосредственно связанное с перевозками, пропорционально возрастающее с увеличением объемов перевозок ().

Тогда зависимость потребления электроэнергии от объема перевозок можно выразить уравнением регрессии вида .

Если затем разделить обе части уравнения на величину объема перевозок , то получим выражение зависимости удельного расхода электроэнергии на единицу продукции от объема перевозок в виде уравнения равносторонней гиперболы .

Аналогично затраты отделения дороги могут быть подразделены на условно-переменные, изменяющиеся пропорционально изменению объема приведенной продукции (расход материалов, топлива, электроэнергии, оплата труда и др.) и условно-постоянные (арендная плата, содержание аппарата управления, услуги связи и др.). Соответственно, зависимость затрат на производство от объема приведенной продукции характеризуется линейной функцией , а зависимость себестоимости единицы приведенной продукции от объема приведенной продукции равносторонней гиперболой .

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т.е. путем сравнения величины остаточной дисперсии , рассчитанной при разных моделях. Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем в меньшей мере наблюдается влияние прочих неучтенных в уравнении регрессии факторов.

Если остаточная дисперсия оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается более простым видам функций, т.к. они в большей степени поддаются интерпретации и требуют меньшего объема наблюдений.

2. Смысл и оценки параметров линейной регрессии.

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (3)

Выражение (3) позволяет по заданным значениям фактора получить теоретическое значение результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных (теоретических) минимальна:

(4)

То есть из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (см. рис.3).

, следовательно .

Слайд 3

>

y

../..

x

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAFhnxacEA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPTYvCMBC9C/6HMII3TRVXutUoIirLHgTd3fvYjG2x mdQmavXXbwTB2zze50znjSnFlWpXWFYw6EcgiFOrC84U/P6sezEI55E1lpZJwZ0czGft1hQTbW+8 o+veZyKEsEtQQe59lUjp0pwMur6tiAN3tLVBH2CdSV3jLYSbUg6jaCwNFhwacqxomVN62l+MAnlE /Yjj82Gro82yGa4+v92fVqrbaRYTEJ4a/xa/3F86zB99wPOZcIGc/QMAAP//AwBQSwECLQAUAAYA CAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVsc1BL AQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4bWwu eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhABYZ8WnBAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9kb3du cmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACGAwAAAAA= " adj="1789"/>

Рис.3. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

Чтобы найти минимум функции (4), надо вычислить частные производные по каждому из параметров , и приравнять их к нулю. Обозначим через , тогда .

, учитывая, что , получим

. (5)

. (5а)

(5) и (5а) образуют систему нормальных уравнений для оценки параметров и : (6)

.

Решая (6) методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые параметры и . Воспользуемся готовыми формулами

; (7)

, (8)

где - дисперсия признака х.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на единицу. Так, если в функции издержек ( - издержки в тыс. рублей, - количество единиц продукции), то, следовательно, с увеличением объема продукции на 1 единицу издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. рублей, т.е. дополнительный прирост продукции на 1 единицу потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. рублей.

Формально параметр - значение при . Параметр не имеет экономического содержания. Интерпретировать можно лишь знак при параметре . Если , то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. И наоборот, если , то наблюдается опережение изменения результата над изменением фактора.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции .

, (9)

где - среднеквадратическое отклонение признака ;

- среднеквадратическое отклонение признака .

; .

В некоторых случаях для того, чтобы не допустить преувеличения показателя тесноты связи, при расчете среднеквадратических отклонений используют формулы:

; .

Линейный коэффициент корреляции находится в границах . Если коэффициент регрессии , то , если , то . Если достаточно близок к 1, то это означает наличие очень тесной зависимости от . Близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели (нелинейной) связь между признаками может оказаться очень тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции, который характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака и называется коэффициентом детерминации.

. (10)

Допустим , следовательно, уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8% ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной функции. Чем больше доля объясненной вариации, тем, соответственно, меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

3. Оценка существенности параметров линейной регрессии.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F -критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. , и, следовательно, фактор не оказывает влияния на результат .

Непосредственному расчету F -критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной от средних значений на две части - "объясненную" и "необъясненную".

Слайд 4

. (11)

Общая ∑ ∑ квадратов Остаточная

квадратов = отклонений, + ∑ квадратов

отклонений объясненная отклонений

регрессией

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две части: изучаемый фактор и прочие факторы.

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси и . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то связан с функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Но поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора , т.е. регрессией по , так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация).

Пригодность линейной регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака приходится на объясненную вариацию. Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Для общей суммы квадратов требуется независимых отклонений, т.к. по совокупности из единиц после расчета среднего уровня свободно варьируется лишь число степеней свободы. Например, имеем ряд значений , и тогда отклонений от среднего составят: . Так как , то свободно варьируется лишь четыре отклонения.

При расчете объясненной или факторной суммы квадратов подставим вместо , получим

зависит только от одного параметра – коэффициента регрессии . Соответственно, число степеней свободы равно 1. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов составляет .

Итак, имеем два равенства ,

.

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы .

, (12)

, (13)

. (14)

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии, получим величину F - критерия , (15)

где - критерий для проверки нулевой гипотезы .

Если нулевая гипотеза справедлива, то и не отличаются друг от друга. Для нулевой гипотезы H₀ необходимо опровержение, чтобы D_факт>D_ост в несколько раз.

Английский статистик Снедекор разработал таблицы критических значений F - отношений при различном числе степеней свободы. Табличное значение -критерия – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости (вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна). Обычно принимают равной 0,05 и 0,01.

Вычисленное значение - критерия признается достоверным (отличным от 1), если оно больше табличного. В этом случае H₀ отклоняется. Если F_факт<F_табл, уравнение регрессии считается незначимым.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается нулевая гипотеза H₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

; ; , (16)

где t_b, t_a, t_r – фактическое значение t - критериев Стьюдента показателей регрессии a, b и корреляции r;

m_b, m_a, m_r – случайные ошибки параметров регрессии и корреляции.

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и корреляции определяются по формулам

, (17)

, (18)

. (19)

Сравнение фактического и критического (табличного) значения t статистики позволяет принять или отвергнуть нулевую гипотезу. Если t_табл<t_факт, то H₀ отклоняется, т.е. a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл>t_факт, то H₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b и r_xy.

Связь между -критерием Фишера и t -критерием Стьюдента выражается равенством

. (20)

4. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое y_p значение как точечный прогноз . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется доверительным интервалом. Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

; . (21)

Формулы для расчета доверительного интервала имеют следующий вид:

; . (22)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать положительное и отрицательное значение.

Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения x_p. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

, (23)

и строится доверительный интервал

, (24)

где .

5. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

Различают линейные и нелинейные регрессии. Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций, например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и т.д.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. Примером могут служить следующие функции:

- полиномы разных степеней , ;

- равносторонняя гипербола .

2. Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам. К ним относятся функции:

- степенная ;

- показательная ;

- экспоненциальная .

Нелинейная регрессия по включенным переменным не представляет трудностей в оценке ее параметров. Они определяются МНК. Так, в параболе 2-й степени , заменяя переменные , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии . Соответственно, для полинома 3-го порядка при замене получим трехфакторную модель линейной регрессии . Для равносторонней гиперболы при замене получим .

Приведение к линейному виду степенных, показательных и экспоненциальных функций производится с помощью логарифмирования. Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция . Связано это с тем, что параметр в ней име