1) 
, С - постоянная 5) 
2) 
6) 
3) 
, С-постоянная 7) 
4) 
Формулы дифференцирования
| № | Основные Элементарные функции | Сложные функции |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
 ,
|  ,
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Задание 4. Найти y’
a) y = 
+ 
-5 
Применяя формулы (
n· 
, (u(x) ± v(x))’=u’(x) ± v’(x), находим:
y’ = (
+ 8x-1 – 5x7 + 10x-6)’ = (x9/4)’ + 8(x-1)’ – 5 (x7)’ + 10(x-6)’ = 
x5/4 – 8x2 – 35x6 – 60x7 =
= 2,25x · 
- 
-35x6 - 
.
b) y = (x3 – 4x2 +6)· 
Применяя формулы ( n· 
(u(x) · v(x))’=u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x), 
и формулу дифференцирования сложной функции, имеем:
y’= (x3 – 4x2 + 6)’ 
+ (x3 – 4x2 + 6) 
= (3x2 – 8x) + 7(x3 – 4x2 + +6) 
.
c) y = 
= 
Применяя формулы (
)’ = 
; ( n· ;
(u ± v)’=u’ ± v’, получим:
y’ = 
= 
=
= 
= 
d) y = 
tg2x
y’ = (ln(x+4))’ tg2x + ln (x+4) (tg2x)’= 
·tg2x + ln(x+4)· 
= 
+ 
=
= 
e) y = 
y’ = (cos 3x)’·ctg (x4) + cos 3x·(ctg (x4))’= - 3sin 3x · ctg x4 – 4x3 · cos 3x 
Задание 5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
на промежутке 
.
| № шага | План нахождения  и  на 
| Применение плана |
| Находим производную функции | 
| |
| Находим критические точки функции |  ,  ,
 или  ,
 - критические точки функции
| |
| Выбираем критические точки, лежащие внутри
| 
| |
| Находим значения функции в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка | 
| |
| Из найденных значений функции выбираем наименьшее и наибольшее |  , 
|
Задание 6. Найти неопределенные, определённые интегралы.
c) ∫ 
b) ∫ x2 lnx dx
|
=
∫ = обозначим через t = 2 – 3x2
найдем dt = d (2 – 3x2) = (2 – 3x2) dx =
= - 6xdx; отсюда следует xdx = - 1/6 dt
= - 
∫ t -1/2 dt = - 
+ C = - 
+ C = - 
+ C = - 
+C
б) Применим формулу интегрирования по частям:
∫ UdV = U ∙ V - ∫ VdU
Пусть U = lnx, тогда dU= dx / x
dV = x2 dx, V = ∫ x2 dx = x3 /3
Имеем ∫ x2 lnx dx = lnx ∙ x3 /3 - ∫ x3 /3 ∙ dx / x = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∫ x2 dx = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∙ x3/3 + C = 1/9 x3 (3 lnx – 1) + C
Определенный интеграл.
Если существует определенный интеграл от функции f(x), то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке 
.
Для интегрируемости функции на отрезке 
достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
Таблица основных интегралов:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
Пример 1:
Необходимо найти определенный интеграл
Имеем:
Таким образом искомый интеграл равен 6.
Пример 2:
Вычислить интеграл: 
Решение:
=(3 
+ 4 
+5x) 
= 
+2 
-
- (
+2 
26- 8=18.
Рекомендуемая литература:
1. Лисичкин В.П., Соловейчик И.Л. Математика – М.: Высш. шк., 1991.
2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов (на базе средней школы). – М.: Высш. шк., 1980
3. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. – Мн: Высш. шкл, 1993.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М. Высш. шк., 2000.
5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 1997.
6. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 1999.
7. Руководство к решению задач по высшей математике. Под редакцией Е.И. Гурского. – Мн. Высш. шк., 1989.
8. Жевник Р.М., Карпук А.А. и др. Общий курс высшей математики. – Орша: АРФА, 1996.
9. Гусак А.А. Высшая математика. – Мн.: ТетраСистемс, 2000.
10. Тарасов Н.П. Курс высшей математики для техникумов. – М.: Наука, 1971.
11. Зайцев И.А. Элементы высшей математики для техникумов. – М.: Наука, 1970.
12. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. - Мн.: Высш. шк. 1998.