При изучении динамики явления наряду с показателями, характеризующими изменение за весь период (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста) рассчитываются показатели, характеризующие изменение в среднем за единицу времени (средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста).
Средний абсолютный прирост ( 
) показывает, на сколько единиц увеличивался (или уменьшался) уровень по сравнению с базисным в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и т.д.):
,
где 
- цепные абсолютные приросты;
t - длина периода (или число цепных приростов).
За период 1995-2001гг. (7 лет) производство продукции увеличивалось в среднем ежегодно на 2,43 тонны.
Средний темп роста ( 
), выраженный в форме коэффициента, показывает, во сколько раз увеличивался уровень по сравнению с базисным в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и т.д.) и рассчитывается по формуле средней геометрической:
или 
,
где 
- цепные темпы роста;
- длина периода или число цепных темпов роста.
Средний темп прироста (или снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался или уменьшался сравниваемый уровень по сравнению с базисным в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и т.д.):
или 
Среднегодовой темп прироста равен:
Производство продукции в среднем ежегодно за период 1995-2001гг. увеличивалось на 0,7%.
Под тенденцией понимают общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня с течением времени. Для изучения тенденции в рядах динамики применяются различные приемы и методы: укрупнение интервалов, метод «скользящей» средней, аналитическое выравнивание.
|
|
При аналитическом выравнивании выбор формы тренда основывается на анализе сущности изучаемого явления, графике фактических уровней, а также использовании специальных критериев математической статистики.
Выбор формы тренда зависит от характера динамики. Если относительно стабильными являются цепные абсолютные приросты, то в качестве формы тренда можно выбрать линейную функцию (прямую линию): 
, при относительно стабильных темпах прироста - показательную кривую: 
, при более или менее равномерном увеличении (или уменьшении) цепных абсолютных приростов - параболу второй степени: 
.
Расчет параметров производится по методу наименьших квадратов:
= min, где
- фактические уровни; 
- выравненные (расчетные) уровни.
При аналитическом выравнивание ряда динамики по прямой параметры a0 и a1 находятся путем решения системы уравнений:
.
При изучении сезонных колебаний выбор метода расчета индексов сезонности зависит от характера общей тенденции ряда динамики. В рядах динамики, где наблюдается стабильность уровней или имеет место незначительная тенденция к росту (или снижению), изучение сезонности основано на методе постоянной средней.
, где
средние уровни ряда за одноименные периоды;
общий средний уровень ряда (постоянная средняя).
В рядах динамики, в которых наблюдается тенденция к росту, изучение сезонности основано на методе переменной средней. Индекс сезонности имеет вид:
- фактические (эмпирические) уровни; 
- выравненные (теоретические) уровни; 
- число лет.
|
|
Задача 4
Производство шерсти в хозяйствах области характеризуется следующими данными (тыс. т.):
Для выявления и числовой характеристики основной тенденции динамики:
1. Исчислите средние уровни за укрупненные периоды и определите среднегодовые абсолютные и относительные скорости их изменения.
2. Произведите сглаживание ряда динамики методом скользящей средней и исчислите абсолютные и относительные приросты сглаженных уровней.
3. Произведите аналитическое выравнивание ряда динамики.
1. Заменим годовые уровни производства шерсти среднегодовыми за укрупненные периоды (3 года)
Определим среднегодовые абсолютные и относительные скорости изменения средних уровней за укрупненные периоды.
2. Произведем сглаживание ряда динамики с помощью 6-летней скользящей средней и исчислим абсолютные и относительные приросты сглаженных уровней.
| лет | Производство шерсти (тыс. т.) | D, тыст | Тр | Тпр | |
| За весь период | В среднем за год | ||||
| 1985-1990 | 29,3 | 4,9 | - | - | - |
| 1986-1991 | 31,0 | 5,2 | 0,3 | 1,061 | 6,1 |
| 1987-1992 | 32,5 | 5,4 | 0,2 | 1,038 | 3,8 |
| 1988-1993 | 34,2 | 5,7 | 0,3 | 1,056 | 5,6 |
| 1989-1994 | 34,7 | 5,8 | 0,1 | 1,018 | 1,8 |
| 1990-1995 | 36,3 | 6,1 | 0,3 | 1,052 | 5,2 |
| 1991-1996 | 37,7 | 6,3 | 0,2 | 1,033 | 3,3 |
3. Произведем аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой: yt = a0+a1t, где
t – порядковые номера периодов времени;
· а0 и а1 – параметры искомой прямой, находятся путем решения системы уравнений:
а0n+a1åt=åУ
a0åt+a1åt2=åУt
При переносе начала отсчета в середину ряда åt=0, тогда 
Расчеты представим в таблице.
| Годы | Пр-во шерсти, тыс. т. (У) | t | Уt | t2 | a1t | Уt=a0+a1t |
| 4,3 | -11 | -47.3 | -1,32 | 4,26 | ||
| 4,5 | -9 | -40.5 | -1,08 | 4,50 | ||
| 4,3 | -7 | -30.1 | -0,84 | 4,74 | ||
| 5,2 | -5 | -26.0 | -0,60 | 4,98 | ||
| 5,3 | -3 | -15.9 | -0,36 | 5,22 | ||
| 5,7 | -1 | -5.7 | -0,12 | 5,46 | ||
| 6,0 | 6.0 | 0,12 | 5,70 | |||
| 6,0 | 18,0 | 0,36 | 5,94 | |||
| 6,0 | 30,0 | 0,60 | 6,18 | |||
| 5,7 | 39,9 | 0,84 | 6,42 | |||
| 6,9 | 62,1 | 1,08 | 6,66 | |||
| 7,1 | 78,1 | 1,32 | 6,90 | |||
| Итого | 67,0 | 68,6 | - | 66,96 |
|
|
Уравнение прямой: Уt=5,58+0,12t
Ряд динамики имеет тенденцию к росту
Задача 5. Имеются данные о производстве тканей на предприятиях в старых и новых границах района:
Производство тканей, тыс. м2.
| 1992 г. | 1993 г. | 1994 г. | 1995 г. | 1996 г. | 1997 г. | |
| В старых границах | ... | ... | ... | |||
| В новых границах | ... | ... |
Сомкните ряды динамики, приведите их к сопоставимому виду.
В связи с изменениями границ района данные за 1995-1997 гг. несопоставимы с данными за 1992-1993 гг. Чтобы сомкнуть эти ряды и получить возможность анализа динамики производства тканей за весь период, возьмем в каждом из них за базу сравнения уровень 1994 г., за которых есть данные как в прежних, так и в новых границах района. В результате получим ряды относительных величин с одинаковой базой сравнения (гр. 3 и 4), которые можно заменить одним сомкнутым рядом динамики (гр. 5) По данным этого ряда могут быть получены абсолютные уровни за 1992-1993 гг. в новых границах (гр.6). Так, в 1992 г. производство тканей составит 2140 тыс. м2 (2000*1,07).
Производство тканей, тыс.м2
| Годы | Доизмененияграницрайона | Послеизмененияграницрайона | 1994 г.=100% | Сомкнутый ряд Динамики | ||
| В старых границах | В новых границах | 1994г.=100% | Тыс.м2 | |||
| А | ||||||
| ... | ... | |||||
| ... | ... | |||||
| ... | ... | |||||
| ... | ... | |||||
| ... | ... |
Задача 6. Имеются данные о реализации яиц по кварталам (тыс. шт.).
| Кварталы | Годы | Всего | Средняяреализация заквартал | Индекс сезонности | ||||
| А | ||||||||
| I | 43,5 | |||||||
| II | 161,0 | |||||||
| III | 137,7 | |||||||
| IV | 57,8 | |||||||
| Итого | - | - |
Определите:
1. Среднюю реализацию яиц для каждого квартала за пять лет.
2. Общую среднеквартальную реализацию по всем данным.
3. Индексы сезонности для каждого квартала методом постоянной средней.
4. Показатели сезонных колебаний изобразите графически и сделайте краткие выводы.
Среднюю реализацию за квартал по данным за пять лет определяем по формуле: 
, где n=5. Результаты представлены в таблице, гр. 7.
Общую среднеквартальную реализацию за все годы рассчитываем по формуле: 
, где
- сумма реализации за все пять лет;
n- число кварталов за пять лет.
Индексы сезонности для каждого квартала (гр.8):
По квартальным индексам сезонности построим график сезонных колебаний. На оси абсцисс откладываем кварталы, а на оси ординат – индексы сезонности.
Рис.2 Сезонные колебания продаж яиц
(индексы сезонности за 1993-1997 гг., %)