Старинный способ решения задач или квадрат Пирсона

Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого. Замечательный русский математик и педагог Леонтий ФилипповичМагницкий (1669-1739) фамилию свою получил от Петра I за умение притягивать к наукам молодых людей.

М₁ – массарастворас меньшей концентрацией

a₁ -меньшая концентрация раствора

М₂ – масса раствора с большей концентрацией

a₂ -большая концентрация раствора

М₁+ М₂ – масса конечного раствора

a₃ - концентрация конечного раствора

a₁<a₃<a₂

Следует, что

Докажем это:

Рассмотрим типовую задачу в общем виде: Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них а₁ % и a₂ % соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий а % меди?

	Массовая доля меди в сплаве	Масса каждого сплава	Масса меди в каждом сплаве
I сплав	а1 %	М1
II сплав	a2 %	М2
Новый сплав	а %	М1+М2

Зная, что масса меди в новом сплаве есть сумма масс меди в каждом из взятых кусков, составим уравнение

+
М₁(а₃-а₁)=М₂(а₂-а₃)

Задача №4 Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы,чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Задача №5 Смешав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кислоты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кислоты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кислоты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Решение.

Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го растворов, взя­тые при смешивании. Тогда х+у+5 кг — масса по­лу­чен­но­го раствора, со­дер­жа­ще­го 0,6х+0,3у кг кислоты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, откуда

Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных уравнений:

Ответ:2 кг

1. Первый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го сплава.

Решение.

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2 x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05 x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2 x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим уравнение:

Задача №6 Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится 42*0,55=23,1 килограммов кислоты.

Ответ: 23,1

2. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Решение

Пусть взяли х г 21-процентного раствора, тогда взяли и х г 95-процентного раствора. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся 0,21х г, а во вто­ром — 0,95х г Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна