Тема 6 Средние величины
Степенные средние
Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку. Метод средних величин является одним из наиболее распространенных приемов обобщения первичных статистических данных. Он позволяет, с одной стороны, выявить то общее, что характерно для изучаемой совокупности по данному признаку, а, с другой стороны, абстрагироваться от её несущественных особенностей.
Средняя величина типичный уровень признака в конкретных условиях места и времени в расчете на единицу однородной совокупности. Это значит, что значение средней величины будет типичным только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц по осредняемому признаку. В противном случае средние величины дают искаженное представление об изучаемой совокупности. Например, среднедушевой доход населения в условиях высокой дифференциации различных групп населения по уровню доходов может не являться характерным для большинства людей. В таких случаях метод средних величин необходимо сочетать с методом группировок. Первоначально с помощью группировки в рамках неоднородной совокупности выделяются однородные группы, по которым затем рассчитываются групповые средние, имеющие типичный характер для конкретной группы. При таком подходе появляется возможность не только определить характерные черты различных групп единиц совокупности, но и выявить имеющиеся различия между ними. В свою, очередь, это позволяет разработать дифференцированные меры по регулированию изучаемого явления или процесса.
Однако нельзя сводить назначение средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородной по данному признаку совокупности. Например, для международных сравнений используют так называемые «системные средние», которые обобщают неоднородные явления в целом по стране как единой социально-экономической системе (средняя урожайность зерновых культур, уровень потребления продуктов питания на душу населения и т.д.)
В статистике используют различные виды средних величин. Различают два основных типа средних величин: степенные средние и структурные средние.
Наиболее распространенными в практике статистического анализа степенными средними являются: средняя арифметическая; средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.
Для расчёта разных видов степенных средних используется одна формула, в которой меняется только значение степени:
При k=1 получают среднюю арифметическую, при k=2 – среднюю квадратическую, при k=3 – среднюю кубическую, при k=-1 получают среднюю гармоническую, при k=0 – среднюю геометрическую.
Значения всех степенных средних связаны между собой на основе так называемого правила мажорантности, согласно которому при увеличении степени значение средней величины также растёт:
Выбор вида средней величины определяется содержанием изучаемого признака (показателя), задачами исследования и характером исходной информации. Исходя из этих предпосылок, в каждом конкретном случае может применяться одна из перечисленных видов средних величин. Непродуманный (необоснованный) выбор вида средней приводит к ошибочным результатам и дает искаженную характеристику изучаемой статистической совокупности.
Нельзя забывать и о том, что средние величины в статистике являются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, в которых выражен признак.
Поскольку средняя величина является обобщающей характеристикой качественно однородной совокупности по изучаемому признаку, то ее вычисление основано, прежде всего, на понимании качественного содержания осредняемого показателя. Это значит, что необходимо первоначально определить исходное соотношение средней (ИСС), т.е. логическую формулу, которая соответствует содержанию изучаемого показателя. Например, рентабельность продаж рассчитывается как отношение прибыли от продаж к выручке от реализации, а при расчете среднего уровня производительности труда в числителе средней величины должен быть объем продукции, а в знаменателе – величина затрат труда.
Степенные средние могут быть рассчитаны как простые и как взвешенные величины. Простые средние обычно рассчитываются, если исходная информация представлена в несгруппированном виде (в виде первичных данных). Взвешенные средние применяются в условиях наличия сгруппированных данных. Основные виды степенных средних представлены в табл.
Характеристика степенных средних величин
| Вид средней | Порядок расчёта | Характеристика |
| 1. Средняя арифметическая | В целом – отношение общей величины признака к объёму совокупности | Среднее значение признака на единицу совокупности Например, средний балл за экзамен по группе студентов на основе данных экзаменационной ведомости. Например, средний уровень денежных доходов на душу населения по данным группировки населения по уровню денежных доходов |
1.1. простая (используется для не сгруппированных данных)
 , где хi – значение признака у i-й единицы совокупности; n – численность совокупности
| ||
1.2. взвешенная (используется для сгруппированных данных)
 , где fi – численность i-й группы (вес или частота варианта хi, т.е. число повторений данного значения признака).
Если в группировке даны частости (d), то средняя рассчитывается следующим образом:
 .
где  - частость, т.е. доля каждой частоты в сумме всех частот.
Если частости измеряются в долях единицы, то  и 
| ||
| 2. Средняя гармоническая (используется в ситуациях, когда известны не частоты или частости, а общий объем признака, равный произведению значений признака на частоты) | 2.1. простая
Используется, когда равны веса, т.е. произведения частот на значения признака
| Например, при одинаковой продолжительности рабочего времени у двух рабочих время на выполнение одного заказа различно. Среднее время выполнения одного заказа можно определить только по гармонической простой |
2.2. взвешенная
| Например, известны цены за единицу продукции и стоимость реализованной продукции за период. Определить среднюю цену можно только так. | |
| 3. Средняя геометрическая (используется для определения среднего значения относительного показателя динамики) | 3.1. цепной способ
 , где К1ц, …, Кnц – последовательные цепные относительные величины динамики (коэффициенты роста); n – число коэффициентов
| Например, среднегодовые темпы роста производства за 2005-2010 гг. |
3.2. базисный способ
 , где y1 и ym – соответственно первый и последний значения ряда динамики; m – число уровней (значений) в ряду динамики.
Произведение последовательных цепных коэффициентов роста (относительных величин динамики) равно базисному коэффициенту роста (относительной величине динамики) за весь период
| ||
| 4. Средняя квадратическая (применяется для расчёта средних величин, имеющих квадратичную размерность, например средняя размерность площади) | 4.1. простая (для несгруппированных данных)
| Чаще всего используется при расчёте средних показателей вариации, но не из значений х, а из их отклонений от средней величины ( ) (среднее квадратическое отклонение)
|
4.2. взвешенная (для сгруппированных данных)
| ||
| 5. Средняя кубическая (применяется для расчёта средних величин, имеющих кубическую размерность, например средняя диаметр труб) | 5.1. простая (для несгруппированных данных)
| Например, при определении средней длины стороны n кубов |
5.2. взвешенная (для сгруппированных данных)
|
Одной из наиболее распространённых в практике социально-экономического анализа является средняя арифметическая величина. Её широкое использование определено широким распространением свойства аддитивности многих признаков, т.е. возможности определения общей величины признака путём простого суммирования отдельных значений. В общем виде значение средней определяется как отношение общего значения признака к объёму совокупности.
При расчёте средней арифметической для интервальных рядов распределения сначала находят середины интервалов, а затем используют формулу средней арифметической взвешенной:
,
где хинт – середина соответствующего интервала (
).
При таком исчислении средневзвешенной величины допускается некоторая неточность, поскольку предполагается, что внутри каждой группы единицы совокупности распределяются равномерно. Эта неточность будет тем меньше, чем меньше величина интервала и больше единиц совокупности в группе.
При этом открытые интервалы (первый и последний) необходимо превратить в закрытые интервалы. Для этого величины открытых интервалов условно приравниваются к примыкающим к ним интервалам. В частности, первый интервал «закрывается» на основе второго интервала, а последний – на основе предпоследнего интервала.
Например, имеются следующие данные о результатах сдачи вступительных экзаменов абитуриентами.