| Результаты сдачи вступительных экзаменов, балл | Число абитуриентов, чел. | Середина интервала, балл |
| 12-14 | ||
| 14-16 | ||
| 16-18 | ||
| 18-20 | ||
| Итого | Х |
Средний набранный балл, таким образом, составит:
(балл).
Таким образом, каждый из абитуриентов в среднем набрал около 17 баллов.
При наличии сгруппированных данных средняя по совокупности в целом может быть рассчитана как средняя арифметическая взвешенная из средних групповых:
,
где 
- средняя групповая, fi – численность i-й группы.
Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами:
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:
Это свойство используется для проверки правильности расчета средней величины. Кроме этого, оно облегчает и сам расчет.
2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину А.
3. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в i раз, то полученная средняя величина также увеличится или уменьшится в i раз.
4. Если все веса средней взвешенной величины уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая от этого не изменится. Исходя из данного свойства следует, что если все веса равны между собой, то результаты расчетов на основе средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной будут равны.
Четвертое свойство дает возможность заменять частоты на доли (частости), при этом, средняя величина не изменится. Это важно, когда известны не абсолютные величины, а удельные веса по группам. Это свойство также показывает, что значение средней величины зависит не от абсолютных размеров частот, а от соотношения между ними.
Последние три свойства средней арифметической величины связаны с первым свойством и вытекают из него. Обычно они применяются для упрощения расчетов средней арифметической, если исходные данные представлены многозначными числами.
При применении средней арифметической взвешенной величины в качестве весов могут выступать не число или доля единиц в данной группе, значения признаков, которые логически связаны с осредняемым признаком. Например, имеется группировка регионов РФ по уровню преступности (число преступлений на 10 тыс. чел.). Но при расчете среднего уровня преступности в целом по стране в качестве веса следует брать не число регионов в той или иной группе, а численность населения этих регионов. Это обусловлено тем, что в соответствии с ИСС уровень преступности определяется отношением числа преступлений к общей численности населения. Следовательно, взвешивая (умножая) уровень преступности на число жителей, мы определяем средний уровень преступности в четком соответствии с содержанием осредняемого показателя.
Структурные средние
Степенные средние величины опираются на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев они могут быть дополнены и даже заменены модальными или медианными значениями. Степенные средние не позволяют оценить структуру изучаемой совокупности, охарактеризовать распределение значений признака между отдельными единицами. Эту задачу помогают решить структурные средние – мода и медиана. С их помощью можно отобразить структуру и оценить степень симметричности ряда распределения.
Структурные средние называют также характеристиками центра распределения, поскольку их значения обычно соответствуют значениям тех единиц совокупности, которые расположены в центре ранжированного по возрастанию ряда распределения.
Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности значение признака, или значение признака, встречающееся с наибольшей вероятностью.
В дискретных рядах распределения модой является значение признака, имеющее наибольшую частоту. Поэтому определение моды в дискретных рядах распределения не требует специальных расчетов, а производится непосредственно по данным группировки.
Предположим, что известны следующие данные о результатах сдачи экзамена студентами: