Тема: Двумерные случайные величины

1. Закон распределения системы случайных величин (X,Y) дискретного типа определяется следующей таблицей

а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент X,Y.

б) Установить, зависимы или нет компоненты X и Y?

в) Вычислить вероятности Р(Х=1, Y=3) и Р(Х>Y).

г) Найти M[X], D[X].

д) Вычислить коэффициент линейной корреляции между X и Y.

е) Найти условный закон распределения случайной величины Х при условии Y=3, условное математическое ожидание M[X/Y=3].

2. Дискретное совместное распределение случайного вектора (X,Y) задается таблицей:

1) Найти одномерные законы распределения X и Y;

2) Найти числовые характеристики M(X), D(X), M(Y), D(Y), K(X,Y), r(X,Y);

3) Найти закон распределения X+Y;

4) Найти закон распределения Z=Y².

3. В таблице представлены ожидаемые доходности по двум видам акций:

1) Найти среднюю ожидаемую доходность по каждой акции,

2) Найти величину отклонения от средней ожидаемой доходности по каждой акции,

3) Вычислите среднеквадратичное отклонение (риск) портфеля, в котором доля акций «Апельсин» – 60%, «Мандарин» – 40%,

4) Определить силу линейной взаимосвязи между доходностью акций «Апельсин» и «Мандарин».

4. Числовые характеристики случайных величин X и Y: M(X)=-2, D(X)=4, M(Y)=4, D(Y)=9, r(X,Y)=-0,8. Определить M(6X-2), D(5-3X), K(7X-2,4-5Y), , r(5+2X,6-7Y), r(5-3X,6X+8), D(X+Y), D(2X+3Y) и D(X-Y).

5. Компания рассматривает две инвестиционных возможности.

1) Найти ожидаемую доходность по каждому из проектов

2) Найти величину отклонения от ожидаемой доходности по каждому из проектов

3) Найти коэффициент, отражающий соотношение риска и доходности (коэффициент вариации) для каждого из проектов

4) Определить силу линейной взаимосвязи между доходностью проекта А и проекта В.

6. В таблице представлены коэффициенты корреляции доходности по трем видам акций. Среднеквадратичное отклонение по Nornickel составляет 3,1, по Rostelecom 2,7, по Gazprom 2,5.

Вычислите среднеквадратичное отклонение портфеля, в котором доля акций Nornickel – 20%, Rostelecom – 30%, Gazprom – 50%.

7. Пусть Х равновероятно принимает значения -1, 0, +1. Найдите K(X,Y), если Y=X².

8. Пусть Х - сумма очков, выпавших в результате двукратного подбрасывания кубика. Пусть Y - разность очков (число на первом минус число на втором). Найдите M(XY), K(X,Y).

9. Заполните пропуски в таблице совместного распределения или найдите вероятности:

Найдите

10. Заполните пропуски в таблице совместного распределения или найдите вероятности:

Известно, что Х и Y независимы и . Найдите M(X/Y).

11.Исследуется зависимость между - количеством лиц в компании, посетившей ресторан, и - количеством блюд, заказанных отдельным представителем этой компании. Анализ данных показал, что пара переменных может принимать только значения (1;2), (1;4), (2;4), (3;5). При этом первые 3 пары значений имели место соответственно в 20%, 30% и 40% случаев. Составить таблицу распределения вероятностей , найти распределение при =1, вычислить коэффициент корреляции , вероятность . Найти закон распределения случайной величины .

12.Случайная величина имеет характеристики , а случайная величина . Найти ковариационную матрицу вектора

13.X и Y независимы и равномерны на отрезке [0;1]. Найдите функцию плотности Z=X+Y.

14. Пусть XYZ – случайные величины, которые равны: X – количество заседаний Государственной Думы за год; Y – количество публичных ссор народных избранников за этот период; Z – количество законов, принятых Думой за год. Известно, что Z=0.4X-2Y+100, причем X и Y предполагаются независимыми. Чему равны MZ, , если M(X)=150, D(X)=50, M(Y)=48, D(Y)=12?

15.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: - число белых шаров в выборке, - число черных шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора и вычислить коэффициент корреляции .

16.Найдите с, частные функции плотности и а) ;

б)

17.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид

Определить константу c и вычислить Также определить безусловную плотность распределения компоненты Y и установить, зависимы ли компоненты X и Y или нет. Вычислить центр рассеивания и функцию распределения

18. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

Вычислить значение постоянной c и Найти центр рассеивания.

19.Случайный вектор (X,Y) распределён по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей

Найти плотности распределения вероятностей функций Z=X+Y, W=XY, а также где U=X², V=Y².

20. Случайные величины X и Y независимы и имеют следующие характеристики: . Вычислить математические ожидания случайных величин U=X²+2Y²-XY-4X+Y+4, V=(X+Y-1)².

20. Случайная точка (X,Y) характеризуется центром рассеивания (-1,1) и ковариационной матрицей . Найти дисперсию случайной величины Z=2X-4Y+3.

21. Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием m и дисперсией . Найти коэффициент корреляции случайных величин и . Показать, что случайные величины Z=X+Y и W=X-Y некоррелированы.

22. Случайная величина X распределена по закону N(-1; 4), а независимая от неё случайная величина Y распределена по закону R[-1; 3]. Вычислить M[Z] и D[Z], где Z=X+Y-XY.