Свойства действий над событиями

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (при неоднократных испытаниях) протекает каждый раз несколько по-иному.

Опыт (испытание) – всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.

Событие - возможный результат опыта.

Случайное событие – событие, которое при осуществлении данного опыта может наступить, а может и не наступить.

Достоверное событие (U) – событие, которое при осуществлении данного опыта всегда наступит.

Невозможное событие (V) – событие, которое при осуществлении данного опыта никогда наступит.

Равновозможные события – события,для которых при осуществлении данного опыта нет оснований считать, что возможность появления одного из них больше, чем другого.

Несовместные события – события, которые при осуществлении данного опыта не могут наступить одновременно (появление одного из них исключает появление других в одном и том же опыте).

Полная группа событий (совокупность единственно возможных событий) – группа таких событий, для которых выполняется: в результате данного опыта обязательно происходит и только одно из них.

Противоположные события – события А и , для которых выполняется: в результате данного опыта наступление А равносильно тому, что не наступит.

Элементарные исходы (случаи, шансы) – равновозможные, несовместные события, образующие полную группу событий.

Пространство элементарных исходов – совокупность элементарных исходов . Часто используют обозначение: . Любой результат эксперимента (событие) - это точка пространства . Если можно считать, что ни один из элементарных исходов (случаев) не является предпочтительным, т.е. исходы равновозможны, каждому элементарному исходу можно приписать число . Это число называют вероятностью данного случая. Таким образом, для нахождения вероятности необходимо найти число элементарных исходов.

Благоприятные (благоприятствующие) случаи (для события) – случаи, при которых данное событие наступает. Появление благоприятного случая является проявлением данного события.

Классическое определение вероятности

Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятностью события А называется отношение m / n:

Р (А) = m / n. (1)

Свойства вероятности

· для достоверного события U выполняется: Р (U) = 1;

· для невозможного события V: Р (V) = 0;

· для случайного события A: 0 < P (A) < 1;

· для любого события В: 0 ≤ Р (В) ≤ 1.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиняющихся определённым условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Правило суммы

Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а В – другими k способами, то выбрать объект А + В (А или В) можно m + k способами.

Правило произведения

Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а после каждого такого выбора объект В может быть выбран k способами, то выбор упорядоченной пары АВ (А ∙ В, А и В) может быть произведён m∙k способами.

Размещения – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений :

. (2)

Перестановки – комбинации, составленные из n различных элементов по n элементов, отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок :

. (3)

Сочетания – комбинации, составленные из данных n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний :

. (2)

Перестановки с повторениями – комбинации, составленные из данных n элементов, среди которых n ₁ элементов одного вида, n ₂ элементов другого вида и т.д.: n ₁ + n ₂ + …+ n _k = n. Число перестановок с повторениями можно подсчитать по формуле:

. (5)

Размещения с повторениями – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (элементы в таких комбинациях могут повторяться, при этом может оказаться, что n ≤ m). Число размещений с повторениями находят по формуле:

. (6)

Сочетания с повторениями – комбинации, составленных из n различных элементов по m элементов, элементы в которых могут повторяться, но в отличие от числа размещений с повторениями, последовательность при выборе элементов не важна. Число таких комбинаций находят по формуле:

. (7)

Геометрическая вероятность – обобщение классической вероятностной модели с конечным или счётным числом равновероятных элементарных исходов. Пусть пространству элементарных исходов соответствует некоторый выделенный объём (площадь или длина ); а событию А соответствует некоторая область с объёмом (площадью или длиной ). Тогда вероятностью события А можно считать отношение:

. (3)

Статистическая вероятность – число, близкое к m / n при неограниченном возрастании n – числа независимых испытаний, если m – число появлений события А в этой серии из n испытаний. Величина m / n называется относительной частотой события А (или частостью). При этом справедлива теорема Бернулли (частный случай теоремы Чебышева - одного из законов больших чисел [1, с. 97]). Согласно этой теореме, в описанной ситуации для любого положительного числа предел вероятности события равен 1:

Предел, используемый в теореме Чебышева, называют пределом по вероятности. Таким образом, практически достоверным при больших значениях n является событие: вероятность р события А сколь угодно близка к его относительной частоте m / n.

Сумма или объединение событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведение (пересечение) событий – событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Сумму трёх событий (А ₁, А ₂, А ₃) можно рассмотреть как сумму события (А ₁+ А ₂) и события А ₃; аналогично для четырёх, пяти событий и так далее (так же и произведение нескольких событий).

Обобщая понятия, связанные с действиями над событиями, на множестве событий вводят алгебраические операции (используя символику действий над множествами):

· объединение (сумма) двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· дополнение (противоположное событию А) – событие , такое, что ;

· пересечение (произведение) двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· следствие (из А следует В, А включается в В, А влечёт В): ;

· невозможное событие ;

· достоверное событие ;

· разность двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· симметрическая разность двух событий А и В – событие С, такое, что

Алгебра событий

Множество событий S называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия (аксиомы событий):

1. ;

Припишем каждому элементарному событию (исходу) некоторый «вес» – вероятность исхода . Совокупность вероятностей должна удовлетворять условиям:

1. ,

2. .

В этом случае вероятность некоторого события А определяется формулой: . При этом тройка , где , а S – некоторая алгебра подмножеств [2, с. 54], определяет вероятностную модель, или вероятностное пространство, обладающее свойствами: