ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ




2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей

 

Задача 2.1.1

Покупатель приобрёл телевизор и магнитофон. Вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор, равна 0,85, а для магнитофона она равна 0,98. Найти вероятность того, что

а) оба они выдержат гарантийный срок службы;

б) хотя бы один из них не выдержит гарантийного срока службы.

Решение:

Рассмотрим события:

А - в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор,

В - в течение гарантийного срока не выйдет из строя магнитофон.

По условию задачи

Р (А) = 0,85; Р (В) = 0,98.

а) Пусть событие С заключается в том, что оба они выдержат гарантийный срок службы, тогда С = А · В.

Так как события А и В независимы, то по теореме (13) умножения вероятностей Р (С) = Р (АР (В). То есть Р (С) = 0,85· 0,98 = 0,833 ≈ 83 %.

б) Пусть событие D заключается в том, что хотя бы одно изделие не выдержит гарантийного срока службы. Тогда событие означает, что оба изделия будут исправны:

= С = А · В, Р () = 0,833. Найдём P (D):

P (D) = 1 – P () = 1 - 0,833 = 0,167 ≈ 17 %.

Ответ: а) вероятность того, что оба изделия выдержат гарантийный срок службы, равна 83 %; б) вероятность того, что хотя бы одно из них не выдержит гарантийного срока службы, равна 17%.

 

Задача 2.1.2

Предполагая, что для шахматиста в каждой партии равновероятны три исхода: выигрыш, ничья и проигрыш, найти вероятность того, что из четырёх партий шахматист

а) не проиграет ни одной партии;

б) проиграет хотя бы две партии.

Решение:

а) Рассмотрим события: Н 1 – выигрыш, Н 2 – ничья, Н 3 – проигрыш, В – шахматист не проиграет ни одной партии; Вi – шахматист не проиграет i - ую партию, i = 1, 2, 3, 4.

При этом, Вi = Н 2 + Н 3, а В = В 1 · В 2 · В 3 · В 4. Так как события Вi независимы, то согласно формуле (13), Р (В) = Р (В 1Р (В 2Р (В 3Р (В 4).

Найдём вероятности событий Вi:

По условию задачи Р (Н 1)= Р (Н 2)= Р (Н 3), а так как эти события образуют полную группу в случае одной партии, то вероятность каждого из них р = . Тогда, согласно формуле (10), так как события Н 2 и Н 3 несовместны, Р (Вi)= + = . Следовательно,

б) Пусть события Сi означают проигрыш i партий, i = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда событие С – проиграть хотя бы две партии – можно выразить следующим образом:

.

Событием, противоположным С, будет событие , при этом . Найдём вероятность . Так как события несовместны, по теореме сложения вероятностей (10) получим:

. При этом

Так как для каждой парии, а все партии – независимые испытания, то для отыскания можно использовать формулу Бернулли (16):

.

Тогда

а

Ответ: а) вероятность того, что из четырёх партий шахматист не проиграет ни одной партии, равна 20%; б) вероятность того, что из четырёх партий шахматист проиграет хотя бы две партии, равна 41%.

 

Задача 2.1.3 (о встрече)

Двое приятелей договорились встретиться с 10 до 11 часов в определенном месте, причём пришедший первым ждет в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность встречи.

Решение:

Пусть событие А соответствует встрече. Если за х обозначить время прихода первого товарища, а за у – второго, то условие их встречи можно задать системой неравенств:

На плоскости хОу область , соответствующая общему числу исходов, будет определена системой , а область D, соответствующая числу исходов, благоприятствующих событию А, определяется неравенством (рисунок 1).

Из последнего неравенства получим:

Тогда по определению геометрической вероятности (8), вероятность события А будет равна:

Рисунок 1 – Области для отыскания геометрической

вероятности в задаче 2.1.3

Ответ: вероятность встречи равна

Задача 2.1.4

Доказать, что для событий А и В выполняется: , где - невозможное событие.

Решение:

По свойствам действий над событиями (стр. 9) получим:




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: