Задача 2.5.1
Известен закон распределения дискретной случайной величины (табл. 7).
Таблица 7 – Закон распределения случайной величины Х
| Хi | -1 | |||
| pi | 0,1 | 0,1 | 0,1 | p 4 |
Необходимо:
а) найти вероятности Р (Х = 6), Р (0 < X < 5), P(X ≤ 0);
б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
в) построить график функции распределения.
Решение:
а) Т.к. все события Х = хi (i =1, 2, 3, 4) образуют полную группу, будет выполняться:
.
Тогда получим: 
Так как события 
несовместны 
, то 
б) Математическое ожидание случайной величины Х находят по формуле (31):
По свойствам дисперсии (35) 
При этом 
тогда 
в) Построим график функции распределения случайной величины Х. Значения F (x) можно найти, согласно формуле (24). В таблице 8 представлены значения функции распределения F (x), найденные по условию данной задачи.
Таблица 8 - Значения функции распределения случайной величины Х
| Значения | |
| х | F (x) = P (X < x) |
| x ≤ -1 | F (x) = P (X < -1) = 0 |
| -1 < x ≤ 0 | F (x) = P (X = -1) = 0,1 |
| 0 < x ≤ 1 | F (x) = P (X = -1) + P (X = 0) = 0,1 + 0,1 = 0, 2 |
| 1 < x ≤ 6 | F (x) = P (X = -1) + P (X = 0) + P (X = 1) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0, 3 |
| x > 6 | F (x) = P (X = -1) + P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 6) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,7 = 1 |
Рисунок 2 – График F (x) к задаче 2.5.1.
Ответ:
а) Р (Х = 6)=0,7; Р (0 < X < 5)= 0,1; P (X ≤ 0) = 0,2;
б) М [ Х ] = 4,2; D [ X ]= 7,76;
в) график функции распределения случайной величины Х представлен на рисунке 2.
Задача 2.5.2
На заводе работают три автоматические линии. В течение рабочей смены первая линия не потребует регулировки с вероятностью 0,9, вторая - с вероятностью 0,8, а третья - с вероятностью 0,75. Составить закон распределения числа линий, которые в течение смены потребуют регулировки. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
|
|
Решение:
Случайная величина Х, равная числу линий, которые в течение смены потребуют регулировки, может принимать значения хi: 0, 1, 2, 3. Все события Х = хi можно выразить через события А 1, А 2 и А 3. Событие А 1 – первая линия потребовала регулировки, А 2 – вторая и А 3 – третья. По условию,
= 0,9,
= 0,8,
= 0,75.
Тогда Р (А 1) = 1- 0,9 = 0,1; Р (А 2) = 1- 0,8 = 0,2; Р (А 3) = 1 - 0,75 = 0,25.
Найдём вероятности событий:
1) Р (Х =0). Выразим событие Х =0 (ни одна линия не потребовала регулировки) через события А 1, А 2 и А 3. Это событие равно произведению 
. Так как множители в нём – независимые события, то по теореме умножения вероятностей (13) получим:
2) Р (Х =1). Событие Х =1 (одна линия потребовала регулировки) можно представить в виде: 
. Так как слагаемые в получившейся сумме – несовместные события, а множители в произведениях – независимы, то по основным теоремам теории вероятностей (10) и (13) получим:
3) Р (Х =2). Событие Х =2 (две линии потребовали регулировки) можно представить в виде: 
. Аналогично пункту 2), получим:
4) Р (Х = 3). Событие Х = 3 (все линии потребовали регулировки) представим в виде: 
. Так как множители – независимые события, то по теореме умножения вероятностей (13) получим:
Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы (табл. 9).
Таблица 9 - Закон распределения случайной величины Х (к задаче 2.5.2)
| Хi | ||||
| pi = P (X=xi) | 0,540 | 0,375 | 0,080 | 0,005 |
Проверка:
(выполняется, т.к. все события X = xi (i =0, 1, 2, 3) образуют полную группу).
Найдём (по формуле (36)) среднее квадратическое отклонение случайной величины Х: 
.
Используя свойство дисперсии (35), вычислим:
|
|
тогда 
следовательно, 
Получили, что в среднем значения случайной величины Х отклоняются от математического ожидания на 0,66.
Ответ:
1) закон распределения случайной величины Х представлен таблицей 9.
2) среднее квадратическое отклонение случайной величины, равной числу линий, которые в течение смены потребуют регулировки, 
.
Задача 2.5.3
Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:
Требуется
а) найти параметр а;
б) вычислить математическое ожидание М [ X ];
в) найти вероятность Р (1 ≤ Х < 5);
г) построить график функции распределения и плотности вероятности случайной величины Х.
Решение:
а) Из условия следует, что случайная величина Х распределена равномерно, поэтому по свойствам равномерного распределения (26) получим:
То же значение можно получить по свойствам функции плотности вероятности (25):
Тогда плотность вероятности случайной величины Х примет вид:
б) Так как математическое ожидание непрерывной случайной величины можно найти по формуле (32), получим:
.
в) Для непрерывной случайной величины так же выполняется: Р (Х = хi) = 0, поэтому, по свойствам плотности распределения случайной величины (стр. 15), получим:
г) Построим графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины Х (рис. 3, 4). Значения 
найдены в таблице 10.
Таблица 10 - Значения функции распределения случайной величины Х (к задаче 2.5.3).
| Значения х | Значения 
|
| х ≤ 2 | 
|
| 2< х ≤ 7 | 
|
| х > 7 | 
|
Рисунок 3 - График функции распределения величины Х (к задаче 2.5.3)
Рисунок 4 - График плотности вероятности
|
|
случайной величины Х (к задаче 2.5.3)
Ответ:
а) а = 3; б) М [ Х ]=4,5; в) Р (1 ≤ Х < 5)=0,8; г) графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины Х представлены соответственно на рисунках 3 и 4.