Практическое занятие №1
Как важно знать погрешности
Наш пример с плотником, измеряющим дверной проем,иллюстрирует возникновение ошибок в измерениях.Теперь мы рассмотрим пример,который более отчетливо показывает,насколько важно знать величину этих ошибок.
Предположим, что мы столкнулись с проблемой,которую,как говорт,решил Архимед, а именно: нас попросили определить, изготовлена ли корона из 18- каратного золота как об этом заявили, или же из более дешевого сплава.Следуя Архимеду,мы решили определить плотность материала короны, зная, что плотности 18-каратного золота и подозреваемого сплава равны соответсвенно
pзолото=15,5 г/см3
pсплав=13,8 г/см3
Если бы мы могли измерить плотность короны pкорона, то (в соответствии с гипотезой Архимеда) можно было бы решить,действительно ли это золотая корона,сравнивая pкорона с известными плотностями pзолото и pсплав.
Предположим, что мы обратились к двум экспертам по определению плотности.Эксперт А мог быстро измерить pкорона и сообщить, что его наилучшая оценка для pкорона равна 15 и что pкорона практически достоверно лежит в интервале между 13,5 и 16,5 г/см3.Эксперт Б мог поработать немного больше и затем обявить наилучшей оценкой 13,9 и вероятный интервал от 13,7 до 14,1 г/см3.Результаты наших двух экспертов можно свести в таблицу 1.1
Относительно этих результатов следует сделать два замечания.Во-первых, хотя измерения эксперта Б значительно точнее,данные эксперта А, вероятно, также правильны.
Каждый эксперт приводит интервал,в котором, как он уверен, лежит pкорона, и эти интервалы перекрываются.Таким образом,вполне вероятно(и фактически так оно и есть), что оба измерения правильны.
Во-вторых ошибка в измерениях эксперта А столь велика,что его результаты просто бесполезны.Значения плотности 18-каратного золота и сплава лежат в полученном им интервале от 13,5 до 16,5 г/см3,так что измерения этого эксперта не позволяют сделать никакого заключения.С другой стороны, измерения эксперта Б ясно показывают,что корона не подлинная.Плотность предполагаемого сплава 13,8 как раз находится внутри определенного экспертом Б интервала от 13,7 до 14,1, в то время как плотность 18-каратного золота,15,5 явно не попадает в этот интервал.Очевидно,если из измерений необходимо делать определенные выводы,то экспериментальные ошибки не должны быть слишком велики.Однако нет необходимости в том,чтобы ошибки были очень малы.
В этом отношении наш пример типичен для многих научных измерений,в которых ошибки должны быть разумно малы(возможно,несколько процентов от измеряемой величины), но чремерная точность часто является излишней.
Наиболее важный вывод относительно измерений наших двух экспертов состоит в следующем: подобно большинству научных измерений, оба измерения были бы бесполезны, если бы они не содержали надежных сведений об их ошибках.Дествительно, если бы мы располагали только информацией,содержащиеся в верхней строке таблицы 1.1, то мы не только не могли бы сделать какое-либо правильное заключение,но фактически были бы введены в заблуждение,так как результат эксперта А (15 г/см3) наталкивал бы на предположение, что корона подлинная.
Практическое занятие №2
Различие
Прежде чем обратиться к вопросу о том, как использовать ошибки в экспериментальных отчетах, необходимо ввести и определить несколько важных терминов.Во – первых,если два измерения одной и той же величины различаются,то мы будем говорить, что между ними имеется различие. Численно определим различие между двумя измерениями как их разность:
| Различие = разность между двумя измеренными значениями одной и той же величины. |
(2.10)
Важно иметь в виду, что различие может быть значимым или незначимым.Если два студента измеряют одно и то же сопротивление и получают результаты
40 ± 5 Ом
и
42 ± 8 Ом,
то различие в 2 Ом меньше, чем погрешности их результатов, так что эти два измерения,очевидно, согласуются.В этом случае мы бы сказали, что различие является незначимым. С другой стороны, если бы два результата были
35 ± 2 Ом
и
45 ± 1 Ом,
то оказалось бы, что два измерения явно расходятся, и различие в 10 Ом было бы значимым. В этом случае требуется ряд тщательных проверок, чтобы обнаружить, какой из резульатов является неверным.
В учебной лабоатории часто измеряют величины (такие, как скорость света с или заряд электрона е), которые прежде много раз тщательно измерялись и для которых очень точное принятое значение известно и опубликовано в учебниках.
Это принятое значение, конечно, не является абсолюттно точным; оно представляет собой результат измерений и, подобно всем экспериментальным результатам, обладает некоторой погрешностью.Тем не менее в большинстве случаев принятое значение намного точнее того, которое студент может получить сам.Например, принятое значение величины скорости света с есть
(принятое значение с)= 299 792 458 ±1 м/с. (2.11)
Как ожидалось, этот результат имеет погрешность, но она исключительно мала по стандартам большинства учебных лабораторий.
Хотя имеется много экспериментов, в которых измеряют величины, принятые значения которых известны, тем не менее лишь в небольшом числе случаев известен «истинный ответ ».Фактически истинное значение измеряемой величины нникогда не может быть точно известно, и его в действительности трудно определить.Однако иногда полезно обсуждать разницу между измеренным значением и соответствующим истинным значием, и некоторые авторы называют эту разницу истинной ошибкой.
Практическое занятие №3
Независимые погрешности в сумме
Правила, которые мы пока нашли, могут быть сформулированы кратко: когда измеряемые величины складываются или вычитаются, погрешности складываются; когда измеряемые величины умножаются или делятся, складываются относительные погрешности. В этом и следующем разделах мы рассмотрим, как при определенных условиях погрешности, рассчитанные на основании этих правил, могут оказаться неоправданно большими.
Точнее, мы увидим, что если исходные погрешности независимы и случайны, то более реалистичная (и меньшая) оценка окончательной погрешности дается аналогичными правилами, в которых погрешности (или относительные погрешности) складываются квадратично (т. Е. В соотвествии с процедурой, которую мы вскоре определим).
Рассмотрим сначала вычисление суммы q=x+y двух чисел х и у, которые были измерены обычным образом:
(измеренное значение х)= xнайл ± δx
и аналогично для у. Способ, который использовался в последнем разделе, выглядел следующим образом. Во – первых, наилучшая оценка q=x+y есть, очевидно q найл = xнайл + yнайл. Во- вторых, поскольку наибольшие вероятные значения для х и у равны соответсвенно xнайл ± δx и yнайл + δy, то наибольшее вероятное значение величины q есть
xнайл + yнайл+ δx+ δy.
Аналогично наименьшее вероятное значение q есть
xнайл + yнайл- δx- δy.
Отсюда мы делаем вывод, что величина q, вероятно, лежит между этими двумя значениями, и погрешность в q равна
δq ≈ δх + δy.
 |
√а2+b2
B
Рис 3.2. Так как любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, то всегда верно неравенство√а2+b2< а+b.
Фактически часто не существенно, каким образом складывать погрешности: квадратично или непосредственно. Например, предположим, что х и у –длины, измеренные обе с погрешностями δx= δy=2мм. Если бы мы были уверены, что эти погрешности могут не быть независимым и случайны, то мы оценили бы ошибку в x+y квадратичной суммой
√(δx)2+ (δy)2 = √4+4 мм = 2,8 мм ≈3 мм,
а если бы мы подозревали, что погрешности могут не быть независимыми, то были бы вынуждены использоваь обычную сумму
δx+ δy ≈ (2+2) мм =4 мм.
Во многих экспериментах оценка погрешностей настолько груба, что различие между этими двумя результатами (3 и 4 мм) не важно. С другой стороны, иногда квадратичная сумма значительно меньше, чем обычная сумма. Кроме того, как это ни удивительно, квадратичную сумму иногда легче вычислить, чем обычную сумму.
Практическое занятие №4