Отметка за домашнее задание

Рисунок 12.1 «График рассеяния»,показывающий отметки студентов за экзамены и домашние задания. Каждая из десяти точек (x_i, y_i) указывает отметку студента за домашнее задание x_i и за экзамен y_i.

(x_i, y_i),..., (x_N,y_N) для двух переменных подтверждает гипотезу л линейной зависимостью х и у.

Предположим, что мы получили N пар измеренных значений (x_i,y_i),..., (x_N,y_N) двух переменных, которые, как мы ожидаем, должны быть связаны линейной зависимостью вида

у =А+Вх.

Важно заметить, что х_i,..., х_N в данном случае не результаты измерений лишь одной величины, как это было в случае двух последних разделов; на самом деле это результаты измерений N различных значений одной переменной (например, N различных высот, с которых мы бросали камень). Тоже самое относится и у_i,..., у_N.

С помщью метода наименьших квадратов мы можем найти значения А и В для линии, которая наилучшим образом аппроксимирует точки (х_i,у_i),...,(х_N, у_N). Если у нас есть надежные оценки погрешностей в измерениях, то мы можем видеть, действительно ли измеренные точки лежат разумно близко к линии (по сравнению с известными погрешностями). Если это так, то измерения подтвержждают наше предположение, что х и у связаны линейно.

К сожалению, во многих экспериментах трудно определить надежные оценки погрешностей заранее, и поэтому мы должны использовать исходные данные, чтобы судить, связаны ли две еременные линейно. В частности, имеется такой пример эксперимента, когда невозможно определить величину погрешностей заранее. Этот эксперимент, который более подходит к социальным, чем к физическим, наукам, лучше пояснить на примере.

Представим себе, что профессор, желающий убедить своих студентов в том, что выполнение домашних заданий поможет им хорошо сдать экзамены, собирает сведения об их отметках за домашнее задание и за экзамен и изображает их на «графике разбросов», как покаазано на рисунке 12,1. На этом графике отметки за домашнее задание отложены по горизонтальной оси, а экзамен – по вертикальной. Каждая точка (х_i,у_i) показывает оценку одного студента за домашнее задание х_i и за экзамен y_i. профессор надеется показат, что высокие оценки за экзамен коррелируют с высокими отметками за домашенее здание и наоборот (ии его график разбросов определенно подтверждает, что это приблизительно так). В этом примере эксперимента нет никаких погрешностей в точках; две отметки каждого студента известны точно. Погрешность будет скорее в степени, до которой коррелированы отметки, и именно это должно быть определено из данных.

Две переменных х и у (в случае любого типичного физического эксперимента или такого, как описанный выше) могут быть, связаны и более сложной зависимостью, чем простая линейная связь вида у =А+Вх. Например, множество физических законов приводит к квадратичной зависимости типа у =А+Вх+Сх². Тем не менее мы ограничим наше рассмотрение случаем более простой задачи, когда надо решить, подтверждает ли данный набор точек гипотезу о линейной связи у =А+Вх.

Степень, до которой набор точек (х_i,у_i),...,(х_N, у_N) подтверждает линейную зависимость между х и у, измеряется коэффициентом линейной корреляции, или просто коэффициентом корреляции

R= σ_xy / σ_xσ_y (12,1)

где смешанный второй момент σ_xy и стандартные отклонения σ_x и σ_y определяются точно так же, как и ранее, формулами (9.8) и (9.4). Подставляя эти определения в (12.1), мы можем переписать выражение для коэффициента корреляции в виде

(12,2)

Как мы скоро увидим, число r показывает, насколькоо хорошо точки (х_i,у_i) аппроксимируются прямой линней. Это число принимает значения между – 1 и 1. Если r близко к±1, то точки лежат вблизи некоторой прямой линии; если r близко к 0, то точки не коррелированы и либо незначительно, либо совсем не группируются около прямой линии.

Чтобы доказать эти утверждения, сначала заметим, что из неравенства Шварца (9,11) | σ_xy | ≤ σ_xσ_y сразу же следует, что ‌‌‌| r | ≤1 или

-1 ≤ r ≤ 1,

Как и утверждалось. Далее, предположим, что все точки (х_i,у_i) лежат точно на линии у =А+Вх. В этом случае у_i=А+Вх_i для всех i и, следоваельно, у=А+Вх. Вычитая эти два два равенства, мы видим, что

(y_i - y)= В(x_i - x)

для каждого i. Подставляя полученное выражение в (12,2) находим

r=ВΣ(x_i - x)²/[Σ (x_i - x)² В² Σ(y_i - х)²] ^1/2 = В/| В |=±1,(12.3)

т.е. если точки (х_i,у_i),...,(х_N, у_N) лежат точно на прямой, то r±1, причем знак r определяется наклоном линии (r=1 для положительного В и r= -1 для отрицательного В). Даже если переменных х и у действительно связаны линейной зависимостью, мы не должны ожидать, что экспериментальные точки будут лежать точно на линии.

Таким образом, не следует ожидать, что r точно ±1. С другой стороны, мы действительно должны ожидать, что r близко к±1, если считаем, что х и у связаны линейно.