Определение биномиального распределения.
Чтобы определить в общем виде биномиальное распределение, нам необходимо ввести некоторые понятия. Во-первых, представим, что мы делаем n независимых испытаний, таких, как бросание n костей, бросание п монет или опробование n хлопушек. Каждое испытание модет иметь различные исходы: кость может выпасть на любую грань от 1 до 6, монета может выпасть на орла или решку, хлопушка может хлопнуть или «прошипеть». Будем называть исход, в котором мы заинтересованы, как успех или выигрыш. Таким образом, «успехом» могли бы быть выпадения очка при бросании коти, или орла при бросании монеты, или же взрыв хлопушки. Обозначим через р вероятность успеха в любом одном испытании и через q=1 – р вероятность «проигрыша» (т.е. получения любого исхода, кроме представляющего интерес).
Таким образом, при бросании кости вероятность выпадения одного очка p=1/6; вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты p=1/2, и вероятность взрыва р могла бы достигать 95% для данного сорта хлопушек.
С помощью этих определений мы теперь можем найти вероятность получения v успехов в n испытаниях. Вычисления, которые мы вскоре опишем, показывают, что эта вероятность даеттся так называемым биномильным распределением:
Р(v успехов в n испытаниях)=bn,p(ν)=n(n-1)…(n-
-ν+1)/1·2·…·ν·pvqn-ν. (13.1)
Буква b в формуле означает «биномиальное»; нижние индексы n и р в b n,p(ν) указывают, что распределение зависит от n, числа сделанных испытаний, и р, вероятности успеха в одном испытании.
Распределение называется биномиальным из-за его тесной связи с хорошо известным разложением бинома в ряд. А именно дробь – биномиальный коэффициент, часто
|
|
(n/v)'
(n/v)= n(n-1)…(n-ν+1) / 1·2·…·ν=
обозначаемый =n1/v1(n-v)l. (13.2)
где мы ввели полезное понятие факториала
nl=1·2·…·n.
Биномиальный коэффициент появляется в разложении бинома
(p+q)n=pn+npn-lq+…+qn=Σnv=0(n/v)pvqn-v6 (13.3)
которое справедливо для любых двух чисел р и q и любого положительного целого n (см.задачу 10.4).
Используя обозначение, мы можем переписать выражение для биномиального распределения в более компактном виде
Р(v успехов в n испытаниях)=bn,p(ν)=(n/ ν) pvqn-ν, (13.4)
где, как обычно, р обозначает вероятность успеха в одном испытании и q=1 – р. Вывод выражения аналогичен получению формулы в примере с игральными костями:
Р (2 единички в 3 бросаниях)=3·(1/6)2·(5/6)
Действительно, если подставить ν=2, n=3, p=1/6 и q=5/6, то получим точно, что вы должны проверить.
Более того, смысл каждого множителя в тот же самый, что и смысл соответствующего множителя в. Множитель pv- вероятность получения только успехов в любых определенных ν испытаниях, а qn-ν – вероятность проигрыша в оставшихся n-v испытаниях. Как легко показать, биномиальный коэффициент (n/v)-число различных комбинации, в которых получается ν успехов в п испытаниях. Приведенное рассуждение показывает, что биномиальное распределение на самом деле определяет вероятность, как было сказано выше.
Практическое занятие №14
Пример.
Как мы уже подчеркивали, распределение Пуассона описывает распределение результатов в эксперименте, когда ведется счет событий, происходящих случайно, но в определенном ожидаемом среднем темпе. В лаборатории вводного курса физики два наиболее известных примера – это подсчет распадов радиоактивных ядер и подсчет частиц космических лучей.
|
|
Другой очень важный пример – эксперимент по изучению ождаемого предельного распределения, подобного распределению Гаусса, биномиальному распределению или распределению Пуассона.
С помощью любого предельного распределения можно узнать, сколько событий любого частного типа ожидается, если эксперимент повторяется несколько раз. (Например, с помощью функции Гаусса f x, σ(x) можно узнать, каково ожидаемое число результатов измерений х, которое попадает в произвольный интервал от х=а до х=b). На практике наблюдаемоечисло редко в точности совпадает с ожидаемым.
На самом деле оно флуктурирует в соответствии с распределением Пуассона. В частности, если ожидаемое число событий некотрого типа равно n, то полученное число может отличаться от n на число порядка √ n.
Во многих ситуациях разумно предпологать, что некоторые числа распределены приближенно по закону Пуассона.
Следует ожидать, что числа яиц, откладываемых домашними птицами на птицеферме за час, числа рождений в день в родильном доме будут следовать распределению Пуассона, по крайней мере приближенно (хотя, вероятно, они также будут отражать и сезонные изменения). Чтобы проверить это предположение, вы должны регистрировать нужные числа много раз. Отложив на графике полученное распределение, вы могли бы сравнить его с распределение, вы могли бы сравнить его с распеределением Пуассона и получить некоторое представление о том, насколько хорошо они совпадают. Если желательно применить колисественный тест, то вы могли бы использовать критерий χ2, описанный в лекции 15.