1) В данном пункте учащиеся выводят следующие свойства:
· свойство произведения степеней;
· свойство частного степеней;
· свойство возведения степени в степень;
· свойство степени произведения;
· свойство степени частного (дроби).
Это традиционное для курса алгебры содержание, однако, его изучение, как и изучение содержания всего курса, организуется через самостоятельные открытия учащихся. Если учитель систематически организует уроки в технологии деятельностного метода обучения Л.Г. Петерсон, то и сформулировать, и доказать свойства степеней будет под силу основной части семиклассников.
2) Гипотезы о свойствах степеней формулируют сами учащиеся (эту работу можно организовать по примеру на свойство произведения степеней – № 36). Менее подготовленные учащиеся могут доказывать сформулированные гипотезы по учебнику либо с помощью учителя в подводящем диалоге. Однако современные цели образования предполагают использование системно-деятельностного подхода обучения и требуют активного включения учащихся в учебную деятельность. Поэтому учитель должен стремиться увеличивать степень самостоятельности учащихся в учебной деятельности.
3) Правила применения свойств степеней могут быть представлены в виде алгоритмов. Так, например, алгоритм умножения степеней с одинаковым основанием содержит два шага:
1. Записать общее основание степеней.
2. В показатель степени записать сумму показателей степеней множителей.
4) На изучение этого пункта отводится 5 часов, из которых два урока рекомендуется посвятить открытию свойств степеней. На первом уроке учащиеся формулируют и доказывают свойства произведения, частного степеней и возведения степени в степень. В качестве пробного задания можно предложить им упростить выражения:
а) an ∙ am; б) bn: bm; в) (cn) m.
Сделать самостоятельное открытие учащиеся могут, реализовав, составленный ими план:
1. Рассмотреть выражения с небольшими числовыми показателями степеней: произведение степеней, частное степеней, степень степени.
2. Упростить числовые выражения, применяя определение степени.
3. Проанализировать результаты.
4. Сделать вывод, сформулировать свойства.
5. Доказать свойства, введя обозначения или рассмотреть доказательство по учебнику.
6. Составить алгоритм нахождения произведения, частного степеней с одинаковым основанием и возведения степени в степень.
5) Перед проблематизацией важно мотивировать учащихся к открытию свойств степеней. Например, можно предложить им вычислить значение выражения с достаточно большими показателями степеней
22 ∙ 2321: (2 32)10 или воспользоваться примерами из текста учебника, в которых применение свойств существенно упрощает вычисления. После чего сообщить учащимся, что свойства, которыми обладают степени, позволят выполнить данное задание без особых усилий меньше чем за минуту.
6) На втором уроке учащиеся открывают свойство произведения и частного степени. Для проблематизации можно предложить им возвести произведение в степень, не используя определение степени: (2 mn)5. Поставив условие неиспользования определения, мы мотивируем учащихся к открытию нового свойства степени. При открытии учащиеся могут использовать следующий план:
1. Выполнить пробное задание, используя определение степени и свойства степеней.
2. Проанализировать результат.
3. Сделать вывод, сформулировать свойство.
4. Доказать сформулированное свойство или рассмотреть доказательство по учебнику.
5. Составить алгоритм нахождения степени произведения.
7) После того как учащиеся откроют свойство возведения произведения в степень, можно предложить им сформулировать и доказать свойство степени частного.
8) После формулировки свойств, руководствуясь фундаментальным принципом развития математической теории, вводится определение степени с нулевым показателем:
Оно строится с учетом непротиворечивости свойству частного степеней.
9) Все задания данного пункта разбиты на группы в соответствии со свойствами, которые в них отрабатываются на три блока: произведение и частное степеней, возведение степени в степень и степень произведения и частного.
10) При отработке свойства возведения степени в степень данное свойство рассматривается в сравнении со свойством умножения степеней, что помогает учащимся лучше усвоить новое свойство (№ 46).
11) При упрощении дробных выражений появляется возможность вспомнить с учащимися понятие допустимых значений переменных. При выполнении заданий из №№ 43, 51 с учащимися следует вспомнить, что значит сократить дробь, и выполнить сокращение, пользуясь правилами равносильных преобразований:
· Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель, то его можно выносить за скобку;
· Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный от нуля, то дробь на него можно сократить.
Чтобы предотвратить распространенную ошибку, связанную с сокращением дробей, эти правила учащиеся должны обязательно вспомнить и проговаривать вслух.
12) Для выполнения вычислений рациональным способом учащиеся учатся переходить от одного основания степени к другому для приведения всех степеней к одному и тому же основанию. Они осваивают этот прием постепенно. В задании № 52 им предлагается записать выражение в виде степени с указанным основанием; в № 58 учащиеся должны заменить в основании десятичную дробь обыкновенной; в № 60 они заменяют основание степени, на произведение удобных чисел; в № 64 переходят от одного основания степени к другому, удобному для применения свойств.
13) Для более подготовленной части учащихся в учебнике предлагаются задания типа №№ 66 – 67, в которых учащиеся подбирают значение показателя с опорой на условие равенства степеней с одинаковыми основаниями. В задании № 68 они получают возможность сформулировать определение степени рационального числа с целым показателем (при этом можно напомнить учащимся, как было получено определение степени с нулевым показателем). При работе с этими заданиями учитель должен учитывать принцип минимакса.
14) При 3 часах алгебры в неделю после изучения первого параграфа учащиеся пишут контрольную работу по теме «Степени». Готовность к контрольной работе можно проверить, используя раздел «Задачи для самоконтроля к главе 4».