Лекция 9
2018/2019 уч. г.
Тема 11. Обработка результатов экспериментальных исследований параметров механической обработки деталей
1. Постановка задачи сглаживания опытных данных. Этапы построения эмпирической зависимости.
2. Сглаживание опытных данных графическим методом. Метод выбранных точек и метод средних определения неизвестных параметров эмпирической зависимости.
3. Решение задачи сглаживания опытных данных методом наименьших квадратов. Линеаризация нелинейных эмпирических зависимостей.
Литература.
1. Гутер Р. С., Овчинский Б. В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта: учеб. пособие. М.: Изд-во «Наука», 1970, -432 с.
2. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, -304с.
3. Пойлов В. З. Основы научных и инженерных исследований: учеб. пособие / В.З. Пойлов. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008.-344 с.
Постановка задачи сглаживания опытных данных.
Этапы построения эмпирической зависимости
При интерполировании функций используется условие равенства значений интерполяционного многочлена и интерполируемой функции в заданных точках-узлах интерполяции. Это обуславливает высокие требования к точности значений интерполируемой функции. Вместе с тем, значения функции, полученные в результате или измерений в ходе экспериментальных исследований, всегда содержат в себе погрешности. Эти погрешности экспериментальных данных а зависимости от их происхождения и величины принято подразделять на три категории:
- систематические;
- случайные;
- грубые (промахи).
Систематическая – это погрешность, которая обусловлена ограниченной точностью изготовления измерительного инструмента или прибора, неправильной установкой прибора, неправильным выбором метода измерений, а также действием некоторых внешних факторов (например, повышенной температурой среды). Эта погрешность представляет собой отклонение в одну сторону исследуемой величины от истинного ее значения и может быть постоянной на протяжении одной серии опытов или изменяться по какому-либо закону. Причины и характер систематических погрешностей могут быть установлены и устранены наладкой аппаратуры, введением соответствующих поправок и т. п.
Случайная погрешность изменяется от одного измерения к другому самым различным образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные погрешности вызваны большим числом факторов, в частности, различными изменениями внешней среды (внезапного сотрясения фундамента здания, возникновения потока холодного воздуха и т. п.). статистическая обработка экспериментальных данных позволяет определить величину случайной погрешности и довести ее до некоторого приемлемого значения путем проведения параллельных опытов достаточное число раз.
Промахом называют грубую погрешность, обусловленную существенными нарушениями правил измерения и приводящую к заметно отличающемуся в серии результату (так называемому выбросу). Возникновение промаха, как правило, нельзя предвидеть, поэтому выбросы обычно исключают при оценке погрешности результатов измерений.
Из вышеизложенного следует, что в экспериментальных данных всегда имеются случайные погрешности. Является очевидным, что при интерполировании функций, вследствие выполнения условия равенства значений интерполяционного многочлена и интерполируемой функции в заданных точках-узлах интерполяции, интерполяционная формула будет содержать все погрешности, имеющиеся в экспериментальных данных. Это может вызвать снижение точности математического описания рассматриваемого процесса или явления интерполяционной формулой. Повышение точности описания результатов исследования интерполяционной формулой можно достичь путем многократного повторения опытов, а также использовать многочлен сравнительно высокой степени. Однако эти подходы требуют больших материальных и временных ресурсов. Кроме того, многочлен высокой степени является неудобным в обращении ввиду его громоздкости, а его коэффициенты могут и не иметь физического смысла.
Вместе с тем, в ходе экспериментальных исследований часто решается задача (задача сглаживания данных), несколько отличающаяся от задачи интерполирования функций. В ней целью является установление по полученным опытным данным эмпирической формулы, описывающей взаимосвязь между изучаемыми величинами, являющими количественными характеристиками исследуемого объекта. При этом предполагается охватить решением задачи результаты опытов наиболее простой формулой, которая бы отражала в определенной степени физическую сущность исследуемого объекта. Ниже приведены постановка задачи и методы ее решения.
Постановка задачи сглаживания опытных данных. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между величинами y и x, в ходе выполнения серии экспериментов была получена следующая таблица значений этих величин
| x | x 0 | x 1 | x 2 | … | xn |
| y | y 0 | y 1 | y 2 | … | yn |
Требуется по полученным данным найти аналитическое выражение приближенной зависимости 
между величинами y и x, значения которой при 
мало отличаются от опытных данных 
.
Такая приближенная зависимость , полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.
Заметим, что задача построения эмпирической зависимости отличается от задачи интерполирования функции тем, что график эмпирической зависимости, как правило, не проходит через заданные точки (
), как в случае интерполяции. В связи с этим, если интерполяционная формула повторяет все погрешности, имеющиеся в экспериментальных данных, то эмпирическая формула в определенной степени сглаживает эти погрешности.
Построение эмпирической формулы осуществляется в два этапа:
- подбор общего вида формулы
, (1)
в которой 
- параметры (неизвестные числовые величины);
- определение наилучших значений параметров выбранной зависимости (1).
Подбор общего вида эмпирической зависимости производится, исходя из физических представлений о характере поведения исследуемой величины. Например, при установлении формулы 
кривой упрочнения металлического сплава ее параметры 
определяются физическими свойствами материала.
Если о поведении искомой величины сведений нет, то выбор вида эмпирической зависимости для нее может произвольным. Причем предпочтение отдается наиболее простым формулам, обладающим требуемой точностью. В этом случае предварительный выбор этих формул осуществляют из геометрических соображений, поступая следующим образом.
Табличные данные исследуемой величины y представляют в графической форме в виде точек в системе координат x и y (рисунок 1).
Если точек много и их расположение на графике затрудняет определение вида кривой зависимости y от x, то все табличные данные разбивают на классы, вычисляют средние значения в каждом классе и наносят их на график (рисунок 2).
По расположению нанесенных на график точек средних значений определяют общий вид эмпирической зависимости путем сравнения характера расположения точек с графиками известных функций (линейной, параболической, показательной, логарифмической и т. п.). Естественно, что успешный выбор функции в значительной степени определяется знаниями, опытом и интуицией исследователя.
Таким образом, в ходе выполнения первого этапа построения эмпирической формулы 
будет задан общий вид функции 
этой формулы, например:
- линейной 
или
- параболы второго порядка 
или
- параболы третьего порядка 
или
- гиперболы 
или другой известной функции,
в которой неизвестные параметры 
находят при выполнении второго этапа построения эмпирической формулы.
Сущность второго этапа заключается в нахождении таких значений параметров , при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение к аппроксимируемой ею функции, имеющей значения yi в точках . При этом, как отмечено выше, не ставится условие совпадения значений эмпирической функции с опытными данными yi в точках , как в случае интерполяции.
Обозначим через ε i разность между значениями выбранной функции и опытными данными yi
, (i = 0, 1, 2, …, n). (2)
Тогда задача нахождения наилучших значений неизвестных параметров эмпирической функции сводится к задаче определения таких параметров , при которых отклонения ε i имеют минимальные значения.
Для решения этой задачи предложен ряд методов, в частности:
- метод выбранных точек (способ натянутой нити);
- метод средних;
- метод наименьших квадратов.
Наиболее простые из них - методы выбранных точек и средних, которые фактически являются графическими методами.