Метод выбранных точек и метод средних определения неизвестных параметров эмпирической зависимости

Метод выбранных точек. Его методика сводится к следующим операциям.

1) на графике, полученному на первом этапе построения эмпирической формулы, проводят плавную линию, которая наиболее близко примыкает к точкам экспериментальных данных (рисунок 3). Исходя из геометрической формы отображенной кривой, задают вид искомой эмпирической зависимости из числа известных функций.

Например, для отображенной на рисунке 3 кривой можно искомую зависимость задать в виде параболы второго порядка . Заметим, что задание вида эмпирической зависимости, собственно, завершает выполнение первого этапа построения эмпирической формулы.

2) для определения неизвестных параметров заданной функции на проведенной кривой выбирают точки, которые, в общем случае, могут и не принадлежать исходной системе точек. Число n выбранных точек должно соответствовать количеству искомых параметров, т. е. . В частности, для формулы число выбранных точек .

3) тщательно измеряют координаты выбранных точек. Используя значения координат , записывают условия прохождения графика эмпирической кривой через выбранные точки. Эти условия представляют собой систему из уравнений относительно параметров

.

Так, для выбранной функции получим следующую систему алгебраических уравнений

Решая эту систему, находят значения искомых параметров.

Метод средних. Обеспечивает более точное сглаживание опытных данных по сравнению с методом выбранных точек. Повышение точности построения эмпирической зависимости достигается тем, что параметры определяют с использованием равенства нулю суммы отклонений ε _i

, (i = 0, 1, 2, …, n)

во всех точках опытных точках x_i, т. е.

. (3)

Это уравнение является единственным условием, которое служит для определения параметров . Поскольку из одного уравнения нельзя однозначно определить все параметров, а других условий нет, то полученное уравнение (3) преобразуют в систему из уравнений. Такое преобразование осуществляют путем выделения в общей совокупности исходных точек несколько групп значений искомой функции. Число таких групп соответствует числу искомых параметров . Для каждой из выделенных групп составляют суммы отклонений их опытных точек от значений выбранной эмпирической функции и получают необходимую систему из уравнений для определения параметров .

Так, на рисунке 3 приведены шесть точек опытных данных, отражающих характер зависимости исследуемой величины y от x, т. е. уравнение (3) с учетом выбранной функции имеет вид

, (4)

в котором три неизвестных параметра .

В соответствии с числом неизвестных параметров из заданных шести точек опытных данных выделим три группы их значений, например (x ₀, y ₀; x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂; x ₃, y ₃) и (x ₄, y ₄; x ₅, y ₅)[1]. Запишем для выделенных групп суммы отклонений значений выбранной эмпирической функции от их опытных точек. Получим следующую систему уравнений

решение которой позволяет однозначно определить все искомые параметры выбранной эмпирической формулы.