Раздел III: Математический анализ.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» для специальности ИВТ

(1курс, 1 семестр)

Раздел I. Векторная алгебра

1. Определения вектора, , коллинеарных векторов, равных векторов.

2. Линейные операции над векторами. Свойства операций. Определение разности векторов. Правило построения разности.

3. Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых и независимых векторов. Теорема о линейной зависимости двух векторов.

4. Теорема о линейной зависимости трех векторов.

5. Определения оси, геометрической проекции точки на ось, скалярной проекции вектора на ось. Теорема о величине проекции вектора на ось. Следствия.

6. Свойства проекций.

7. Определения ортонормированного базиса, декартовой системы координат. Декартовы координаты вектора. Правила действия с векторами. Теорема о проекциях вектора на оси координат.

8. Определение радиуса–вектора. Определение направляющих косинусов вектора и их свойство. Определение орта вектора. Утверждение о координатах орта.

9. Определение скалярного произведения. Механический смысл. Геометрические свойства скалярного произведения.

10. Алгебраические свойства скалярного произведения.

11. Теорема (выражение скалярного произведения в декартовых координатах).

12. Определения упорядоченной тройки векторов, правой тройки, левой тройки. Определение векторного произведения. Механический смысл. Геометрические свойства векторного произведения.

13. Алгебраические свойства векторного произведения.

14. Теорема (выражение векторного произведения в декартовых координатах). Следствие.

15. Определение смешанного произведения. Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Следствия.

16. Теорема (выражение смешанного произведения в декартовых координатах).

Раздел II. Аналитическая геометрия

1. Понятие об уравнении линии на плоскости. Нахождение координат точки пересечения двух линий.

2. Понятия об уравнении поверхности, линии в пространстве. Параметрическое задание линии.

3. Теорема (общее уравнение прямой на плоскости).

4. Каноническое, параметрические уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Угол между двумя прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности, перпендикулярности прямых. (Для различных случаев задания прямой: общим, каноническим уравнениями, уравнением с угловым коэффициентом).

6. Теорема (общее уравнение плоскости). Неполные уравнения плоскостей.

7. Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

8. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условия параллельности, перпендикулярности плоскостей.

9. Канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве. Общее уравнение прямой.

10. Угол между двумя пространственными прямыми. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности, перпендикулярности прямых.

11. Условия принадлежности пространственной прямой плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности прямой и плоскости.

12. Полярная система координат.

13. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы.

14. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы.

15. Определение параболы. Каноническое уравнение параболы. Исследование формы.

Раздел III: Математический анализ.

1. Опр. U_E(b). Опр. числовой последовательности. Опр. ограниченной и неограниченной последовательности. Опр. предела последовательности. Опр. сходящейся и расходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
2. Опр. бесконечно малой (б. м.) и бесконечно большой (б. б.) последовательности. Утверждение о том, что б. б. последовательность является неограниченной. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
3. Свойства б. м. и б. б. последовательностей. Теорема о связи предела и б. м. последовательности.
4. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Виды неопределённостей. Теорема об ограниченной сверху (снизу) последовательности и её пределе. Теорема (лемма о сжатой переменной).
5. Определение монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса. Теорема о числе е.
6. Опр. U_E(x₀). Опр. U_E(+¥), U_E(–¥). Опр. предела функции на языке «E–d».
7. Теорема (арифметические свойства предела функции). Теорема (необходимое условие существования конечного предела функции). Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема (лемма о сжатой переменной).
8. Опр. непрерывной функции в точке. Опр. непрерывной функции на языке «приращений». Опр. непрерывной функции на множестве. Классификация точек разрыва. Теорема (арифметические операции над непрерывными функциями). Теорема о непрерывности сложной функции.
9. Лемма (неравенство, связывающее x, sinx, tgx). Теорема о непрерывности элементарных функций.
10. Опр. б. м. и б. б. функции. Свойства б. м. функций. Опр. б.м. функций одного порядка, эквивалентных, более высокого порядка. Теорема о сумме двух б.м. таких, что a(x)=o(b(x)). Теорема (использование эквивалентных б. м. при вычислении пределов).
11. Теорема (1 замечательный предел). Следствия.
12. Теорема (2 замечательный предел). Следствия.
13. Опр. непрерывной функции на отрезке. Теорема о равенстве нулю непрерывной на отрезке функции, которая меняет знак на этом отрезке. Следствие о достижении промежуточных значений на отрезке.