Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне отрезка равна нулю. А именно:
F (x) = 
Функция распределения F (x) равномерного распределения имеет вид:
F (x)= 
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной равномерно в интервале (a, b):
M (X)= 
;
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
Среди распределений непрерывных случайных величин нормальный закон (закон Гаусса) занимает основное место.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью:
Здесь а, s - параметры нормального распределения
Функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение, имеет вид:
Непосредственным вычислением можно показать, что:
М (X) = a, D (X) = σ 2.
ЗАМЕЧАНИЯ.
1. Нормальное распределение с произвольными параметрами a и σ (σ ≥ 0) называют общим. Если a = 0 и σ = 1, то нормальное распределение называют нормированным.
2. Функция нормированного распределения
протабулирована.
Легко проверить, что 
3. Вероятность попадания нормированной случайной величины Х в интервал (0, х) можно вычислить через функцию Лапласа:
4. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a и σ, то:
Р (a < Х < b) = 
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса):
 |
ПРИМЕР. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм. и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
РЕШЕНИЕ. По условию Р (32 < Х < 68) = 1. Воспользуемся формулой:
Р (a < Х < b) = 
Подставив сюда a = 32, b = 68, а = 50, получим
Р (32 < Х < 68) = 
Отсюда 
= 0,5. По таблице находим: 
, 
Тогда вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм равна:
Р (55 < Х < 68) = 
= 0,0823
Аналогично:
Р (32 < Х < 40) = 
= 0,0027
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАЧИ
№1. Радиоаппаратура состоит из n электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна p и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность того, что в течение года произойдет:
а) ровно k отказов;
б) менее k отказов;
в) более k отказов;
г) хотя бы один отказ.
№2. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х 1 и х 2, причем х 1< х 2. Вероятность того, что Х примет значение х 1 равна p. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение σ (Х).
№3. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.
№4. Варианты 1 – 5. Доход жены и мужа в месяц подчиняются соответственно следующим законам распределения:
| X (тыс. руб.) | x 1 | x 2 | x 3 | Y (тыс. руб.) | y 1 | y 2 | y 3 | |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | P | g 1 | g 2 | g 3 |
Составить закон распределения дохода семьи (X + Y), найти средний доход семьи М (X + Y) и убедиться, что М (X + Y) = М (X) + М (Y).
Варианты 6 – 10. Доходность X, Y видов ценных бумаг подчиняются следующим законам распределения:
| X (млн. руб.) | x 1 | x 2 | x 3 | Y (млн. руб.) | y 1 | y 2 | y 3 | |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | P | g 1 | g 2 | g 3 |
Составить закон распределения суммы этих случайных величин (доходность портфеля из этих бумаг), определить среднюю доходность этих бумаг, т. е. М (X + Y) и вычислить s (X + Y).
Варианты 11 – 15. Средства, вложенные в начале года в два предприятия, к концу года приносят случайный доход X (млн. руб.) и Y (млн. руб.) соответственно для первого и второго предприятия:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | Y | y 1 | y 2 | y 3 | |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | P | g 1 | g 2 | g 3 |
Найти закон распределения случайной величины (X + Y) – средств, возвращенных двумя предприятиями. Вычислить среднее значение возвращенных средств М (X + Y) и D (X + Y).
Варианты 16 – 20. Количество электроэнергии X (кВт/час), потребляемой предприятием №1 и количество электроэнергии Y (кВт/час), потребляемое предприятием №2, характеризуется следующими данными:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | Y | y 1 | y 2 | y 3 | |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | P | g 1 | g 2 | g 3 |
Составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой обоими предприятиями (X + Y),найти среднее количество потребляемой электроэнергии М (X + Y) и s (X + Y).
Варианты 21 – 25. Случайные величины X и Y – количество бракованных изделий в партии продукции, поставляемой первым и вторым заводами соответственно:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | Y | y 1 | y 2 | y 3 | |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | P | g 1 | g 2 | g 3 |
Найти закон распределения суммы этих величин, математическое ожидание М (X + Y) и дисперсию D (X + Y).
№5. Случайная величина X задана интегральной функцией F (x). Требуется:
а) найти дифференциальную функцию распределения;
б) найти математическое ожидание X;
в) найти дисперсию X;
г) построить графики интегральной дифференциальной функций распределения;
д) найти вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (a, b) двумя способами.
№6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения f (х). Показать, что f (х) может служить дифференциальной функцией и найти интегральную функцию распределения.
№7. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием m мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее а мм. и не более b мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше b 1 мм, б) меньше а 1 мм.
Указание: Из равенства Р (a < Х < b) = 1 найти σ.
№8. По данным Центрального банка России случайная величина X – недельная потребность в купюрах достоинства 100 рублей подчиняется закону нормального распределения со средним значением a и средним квадратическим отклонением s. Требуется:
а) записать функцию плотности вероятности и построить ее график;
б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b);
в) найти вероятность того, что абсолютная величина ô X – a ô окажется меньше e.