Магнитное поле постоянного тока

Основные формулы

· Закон Био – Савара – Лапласа

d B =m₀m dl r I/4π r,

где d B – магнитная индукция поля, создаваемого элементом i проводника с током; m – магнитная проницаемость; m₀ – магнитная постоянная (m₀ =4p 10 ^-7 Гн/м); dl – вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; r – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора d B выражается формулой

dB=m₀m dl I sin α/4π r²,

где a – угол между векторами d l и r.

· Магнитная индукция В связана с напряжённостью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением

или в вакууме

· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

где R — радиус кривизны проводника.

· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

где r – расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника

Обозначения ясны из рис. 3.1, а). Вектор индукции В перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображён точкой.

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 3.1, б), и, следовательно,

· Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),

где п — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.

· Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В ₁, В₂,..., В _n складываемых полей, т. е.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной индукции

где a – угол между векторами В₁ и В₂.

Примеры решения задач

Пример 3.1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I =60А, расположены в точках D и С. Расстояние между проводами d= 10см. Определить магнитную индукцию В в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии г₁=5 см и от другого – на расстоянии r₂ = 12см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис. 3.2) определим направления векторов индукций В ₁ и В ₂ полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B=B ₁+ B ₂. Модуль индукции найдём по теореме косинусов:

(1)

Значения индукций Bi и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем: , где m₀ =4p 10 ^-7 Гн/м. Подставляя B₁ и В₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

(2)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу магнитной индукции (Тл):

Откуда следует, что

Вычисляем cosa. Заметим, что a =∠DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем , где d – расстояние между проводами. Отсюда

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a = 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m₀, I, r₁, r₂и cos b, найдём В =286 мкТл.

Пример 3.2. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токи I₁=10А, I₁=10А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке а=0,5r от левого провода, т. е. лежащей посередине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 3.3, а); 2) провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 3.3, б); 3) провода перпендикулярны, направление токов указано на рис. 3.3, в, в этом случае точка а лежит на диагонали прямоугольника.

Рис 3.3

Решение: Результирующаяиндукция магнитного поля равна векторной сумме: B=B₁+B₂, где B₁ – индукция поля, создаваемого током I ₁; В₂ – индукция поля создаваемого током I ₂.

Если B₁ и В₂ направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В₁+В₂. (1)

При этом слагаемые В₁ и В₂ должны быть взяты с соответствующими знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В₁ и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

B₁= m₀ I₁ /(2pr), B₂= m₀ I₂ /(2pr). (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдём модули В₁ и В₂:

В₁=В₂=80 мкТл.

1-й случай. Векторы B₁ и В₂ направлены по одной прямой (рис. 3.3, а); следовательно, результирующая индукция В определяется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: В ₁ =- 80 мкТл, В ₂=80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В ₁и B ₂, получим

В=В ₁ +В₂=0.

2-й случай. Векторы В ₁ и В ₂ направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 3.3, б). Поэтому можем записать

В ₁ =В ₂ =- 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B ₁ и В ₂ получим

В=В ₁ +В ₂ =- 160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 3.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю прямоугольника, построенного на векторах В ₁ и В ₂. По теореме Пифагора найдём

(3)

Подставив в формулу (3) значения В ₁и В ₂и вычислив, получим Рис. 3.4 B =113 мкТл.

Пример 3.3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии r ₀ =20 см от середины его (рис. 3.4). Сила тока I, текущего по проводу, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа:

 

(1)

Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента d l проводника через da. Согласно рис. 3.4, запишем

Подставим это выражение d l в формулу (1):

Но r – величина переменная, зависящая от a и равная Подставив rв предыдущую формулу, найдём

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a₁ до a₂:

(3) Рис. 3.4

Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos a₂= – cos a₁. С учётом этого формула (3) примет вид

(4)

Из рис. 3.4 следует

 

Подставив выражение cos a₁ в формулу (4), получим

(5)

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведём вычисления:

Задача 3.1

Вариант №	Ток I, А	d, см	г1, см	r2, см
	67,5	10,8	7,06	15,4
	67,1	12,6	9,95	15,4
	70,1		9,22	12,6
	69,8	13,6	8,03	15,1
	61,7	11,9	8,78	14,8
	70,2	12,6	9,53	12,2
	71,8	12,2		12,2
	70,7	12,3		15,3
	63,6	10,7	5,71	14,7
	69,8	11,2	7,24	13,5
	71,7	10,2	6,09	12,3
	64,1	13,2	7,94	14,3
	71,1	10,9	9,55	14,4
		13,6	9,54	15,5
	62,2	11,5	6,3	12,6
	62,6	10,8	6,24	16,8
	66,7	12,2	5,66	16,6
	71,2	11,5	7,79
	60,8	12,8	6,1	12,3
	64,9	12,2	5,71	13,9
	70,2		9,75	12,8
	69,4	10,4	7,23	12,2
	61,8	12,3	9,69	16,3
	71,7	12,8	8,15	12,8
	61,8	12,5	5,1
	62,9	13,6	7,22	14,8
	67,9	10,7	6,92	13,1
	61,8	12,9	9,18	14,5
	71,4	12,1	7,36	14,3
	60,5	13,4	7,94	16,5
	70,7	12,3	9,55	15,3
	63,6	10,7	9,54	14,7
	69,8	11,2	6,3	13,5
	71,7	10,2	6,24	12,3
	64,1	13,2	5,66	14,3
	71,1	10,9	7,79	14,4
		13,6	6,1	15,5
	62,2	11,5	5,71	12,6
	62,6	10,8	9,75	16,8
	66,7	12,2	7,23	16,6
	71,2	11,5	9,69
	60,8	12,8	8,15	12,3
	64,9	12,2	5,1	13,9
	70,2		7,22	12,8
	69,4	10,4	6,92	12,2
	61,8	12,3	9,18	16,3
	71,7	12,8	7,79	12,8
	61,8	12,5	6,1
	62,9	13,6	5,71	14,8
	67,9	10,7	9,75	13,1
	61,8	12,9	7,23	14,5
	71,2	11,5	9,69
	60,8	12,8	8,15	12,3
	64,9	12,2	5,1	13,9
	70,2		7,22	12,8
	69,4	10,4	6,92	12,2
	61,8	12,3	9,18	16,3
	71,7	12,8	7,36	12,8
	61,8	12,5	5,34
	62,9	10,4		14,8
	67,9	12,3	5,71	13,1
	61,8	12,8	7,24	14,5
	71,4	12,5	6,09	14,3
	60,5	13,6	7,94	16,5
	70,7	10,7	9,55	15,3
	63,6	12,9	5,71	14,7
	69,8	11,5	7,24	13,5
	71,7	12,8	6,09	12,3
	64,1	12,2	7,94	14,3
	71,1		9,55	14,4

Задача 3.2

Вариант №	r, см	Ток I1, А	Ток I2, А	Точка а
	7,06	11,25	15,51	0,83
	7,04	10,8	16,03	0,79
	6,26		15,23	0,63
	7,83	11,12	15,28	0,83
	7,14	11,59	15,06	0,57
	7,32	10,3	17,94	0,78
	6,68	11,96	17,59	0,75
	7,87	10,98	16,07	0,54
	7,72	10,89	17,83	0,51
	7,22	10,13	17,86	0,74
	6,63	11,16	17,36	0,79
	6,44	10,95	15,91	0,77
	7,99	10,08	15,79	0,68
	6,05	10,48	17,28	0,56
	7,12	11,89	16,79	0,62
		10,06	17,16	0,56
	6,07	10,72	16,6	0,53
	7,02		16,32	0,52
	6,68	11,63	15,46	0,69
	6,03	11,74	17,07	0,63
	6,88	10,47	15,56	0,64
	6,73	11,5	15,99	0,53
	6,28	10,56	16,26	0,54
	7,91	11,33	17,48	0,78
	6,48	10,74	15,04	0,81
	6,71	11,86	16,09	0,54
	6,64	10,41	15,72	0,76
	6,44	10,61	15,94	0,61
	7,86	10,97	15,62	0,69
	6,47	10,86	16,53	0,7
	6,26		16,79	0,63
	7,83	11,12	17,16	0,83
	7,14	11,59	16,6	0,57
	7,32	10,3	16,32	0,78
	6,68	11,96	15,46	0,75
	7,87	10,98	17,07	0,54
	7,72	10,89	15,56	0,51
	7,22	10,13	15,99	0,74
	6,63	11,16	16,26	0,79
	6,44	10,95	17,48	0,77
	7,99	10,08	15,04	0,68
	6,05	10,48	16,09	0,56
	7,12	11,89	15,72	0,62
		10,06	15,94	0,56
	6,07	10,72	15,62	0,53
	7,02		16,53	0,52
	6,68	11,63	15,23	0,69
	6,03	11,74	15,28	0,63
	6,88	10,47	15,06	0,64
	6,73	11,5	17,94	0,53
	6,28	10,56	17,59	0,54
	7,02		16,07	0,52
	6,68	11,63	17,83	0,69
	6,03	11,74	17,86	0,63
	6,88	10,47	17,36	0,64
	6,73	11,5	15,91	0,53
	6,28	10,56	15,79	0,54
	7,91	11,33	17,28	0,78
	6,48	10,74	16,79	0,81
	6,71	11,86	17,16	0,79
	6,64	10,41	16,6	0,77
	6,44	10,61	15,94	0,68
	7,86	10,97	15,62	0,56
	6,47	10,86	16,53	0,62
	6,26		15,23	0,56
	7,83	11,12	15,28	0,53
	7,14	11,59	15,06	0,52
	7,32	10,3	17,94	0,69
	6,68	11,96	17,59	0,63
	7,87	10,98	16,07	0,64

Задача 3.3

Вариант №	r, см	Ток I, А	l, см
	23,7	32,4
	23,5		68,8
	24,2	38,5	64,8
	23,4	38,4	62,6
	20,4	33,5	68,7
	20,5	36,4	60,7
	24,6	31,1	62,9
	20,3	36,9
		34,7
	22,6	31,1	62,9
	24,6	33,8	68,3
		33,1	65,7
	21,6	30,9	63,3
		33,1	69,3
		36,2	69,9
	20,7	36,9	63,7
	23,1	32,4	67,2
	22,1	38,2	68,4
	24,6	32,9	65,8
		36,5	69,2
	20,8	31,6	61,3
	20,5		60,8
	21,8	35,1	61,1
	21,5	33,5	65,4
	24,8	35,8	64,2
	24,8	32,5
	22,1	34,9	65,3
	20,7	33,2	64,2
	20,9	31,8	67,8
	20,1	35,8	64,4
	20,5	32,5	60,7
	24,6	34,9	62,9
	20,3	33,2
		31,8
	22,6	34,9	62,9
	24,6	36,4	68,3
		31,1	65,7
	21,6	36,9	63,3
		34,7	69,3
		31,1	69,9
	20,7	33,8	63,7
	23,1	33,1	67,2
	22,1	30,9	68,4
	24,6	33,1	65,8
		36,2	69,2
	20,8	36,9	61,3
	20,5	32,4	60,8
	21,8	38,2	61,1
	21,5	32,9	65,4
	23,1	36,5	67,2
	22,1	31,6	68,4
	24,6		65,8
		35,1	69,2
	20,8	33,5	61,3
	20,5	32,4	60,8
	21,8	38,2	61,1
	21,5	32,9	65,4
	24,8	36,5	64,2
	24,8	31,6
	22,6		65,3
	24,6	33,2	64,2
		31,8	67,8
	21,6	34,9	64,4
		36,4	60,7
		31,1	62,9
	20,7	36,9
	23,1	34,7
	22,1	31,1	62,9
	24,6	33,8	68,3
		33,1	65,7