Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность

Основные формулы

• Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

A = I D Ф,

где D Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Ленца)

где Ɛ_i – электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; Y – потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной I, движущегося со скоростью u в однородном магнитном поле,

U=Blusina,

где a – угол между направлениями векторов скорости u и магнитной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции Ɛ_i, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В

где w t – мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

где R — сопротивление контура; DY – изменение потокосцепления.

•Электродвижущая сила самоиндукции Ɛ_i,возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

где L — индуктивность контура.

• Потокосцепление контура Y= LI, где L — индуктивность контура.

• Индуктивность L соленоида (тороида) длиной l равна

L=μ₀μ N²S/l,

где N – число витков соленоида; S – площадь поперечного сечения.

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведённой формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 5.1), а затем формулой

• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L:

а) после замыкания цепи

– ЭДС источника тока; t— время, прошедшее после замыкания цепи;

б) после размыкания цепи

где l ₀ – сила тока в цепи при t=0, t— время, прошедшее с момента размыкания цепи.

 

Примеры решения задач

Пример 6.1. Виток, по которому течёт ток I =20 А, свободно установится в однородном магнитном поле В =16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента p_m контура сонаправлен с вектором В (рис. 6.1, а) и магнитный поток Ф₁ максимален (a=0, cos a=1), т. е. Ф₁ =ВS (где S – площадь контура). В конечном положении (рис. 6.1, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B (a=p/2, cos a=0) и магнитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учётом сделанных замечаний:

Так как площадь контура S=pd²/4. то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведём вычисления:

Пример 6.2. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с частотой n=l0 c ^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определяется основным уравнением электромагнитной индукции Ленца:

(1)

Потокосцепление Y= NФ, где N — число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cos w t, где В — магнитная индукция; S – площадь рамки; w – угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w=2p п. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив w t на угол a, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 p, N и sin w t — величины безразмерные и неименованные, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдём

Пример. 6.3 По соленоиду течёт ток I =2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Определить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y= LI, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y=Ф N), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Задача 6.1

Вариант №	Ток I, А	В, мТл	d, см
	23,2	17,9	11,3
	24,3	18,6	11,7
	21,9	18,8	11,7
	22,8		11,6
	24,5	20,9	11,5
	21,1	19,7	10,8
	22,5	19,6	11,1
	23,6	17,9	10,5
	24,8	21,3	11,6
	21,4		10,3
	23,7		11,7
		19,4	11,1
	20,3	20,9	10,9
	22,8	18,8	10,8
	21,3		10,8
		16,2	11,1
	22,1		10,7
	22,4	19,7	11,3
	23,4	19,6	10,6
	20,4	17,7	11,6
	21,9	17,1	11,6
	21,8	20,8	11,4
	24,8	20,5	11,1
	20,6	18,7	11,2
	20,4	18,5	10,2
	23,9	20,4	11,9
	20,6	19,9	11,6
	24,7	17,2	11,9
	22,6	18,6	10,2
	24,6	18,2	10,6
	23,7	19,6	11,7
		17,9	11,1
	20,3	21,3	10,9
	22,8		10,8
	21,3		10,8
		19,4	11,1
	22,1	20,9	10,7
	22,4	18,8	11,3
	23,4		10,6
	20,4	16,2	11,6
	21,9		11,6
	21,8	19,7	11,4
	24,8	19,6	11,1
	20,6	17,7	11,2
	20,4	17,1	10,2
	23,9	20,8	11,9
	20,6	20,5	11,6
	24,7	18,7	11,9
	22,6	18,5	10,2
	24,6	20,4	10,6
	21,9	19,9	11,7
	22,8	17,2	11,6
	24,5	18,6	11,5
	21,1	18,2	10,8
	22,5		11,1
	23,6	19,4	10,5
	24,8	20,9	11,6
	21,4	18,8	10,3
	23,7		11,7
		16,2	11,1
	20,3		10,9
	22,8	19,7	10,8
	21,3	19,6	10,8
		17,7	11,1
	22,1	17,1	10,7
	22,4	20,8	11,3
	23,4	20,5	10,6
	20,4	18,7	11,6
	21,9	18,5	11,6
	21,8	20,4	11,4

Задача 6.2

Вариант №	В, Тл	N	n, c-1	S, см2	a, град.
	0,12		11,1
	0,25		10,4
	0,14		11,9
	0,14		10,3
	0,21		12,4
	0,41		12,5
	0,46		12,8
	0,32		12,7
	0,51		12,8
	0,45
	0,25		10,4
	0,36		11,6
	0,22		12,1
	0,49		11,4
	0,47
	0,31		12,8
	0,46		10,5
	0,53		11,1
	0,2		11,4
	0,4		11,8
	0,21		10,7
	0,16		12,1
	0,53		11,7
	0,36		10,4
	0,29		10,4
	0,35		10,8
	0,36		12,1
	0,38		10,7
	0,35		11,9
	0,47		11,8
	0,46		12,8
	0,32		12,7
	0,51		12,8
	0,45
	0,25		10,4
	0,36		11,6
	0,22		12,1
	0,49		11,4
	0,47
	0,31		12,8
	0,46		10,5
	0,53		11,1
	0,2		11,4
	0,4		11,8
	0,21		10,7
	0,16		12,1
	0,53		11,7
	0,36		10,4
	0,29		10,4
	0,35		10,8
	0,36		12,1
	0,38		10,7
	0,35		11,9
	0,47		11,8
	0,14		10,3
	0,21		12,4
	0,41		12,5
	0,46		12,8
	0,32		12,7
	0,51		12,8
	0,45
	0,25		10,4
	0,36		11,6
	0,22		12,1
	0,49		11,4
	0,47
	0,31		12,8
	0,46		10,5
	0,53		11,1
	0,2		11,4

Задача 6.3

Вариант №	Ток I, А	Ф, мкВб	N
	2,36	8,72
	2,84	5,73
	3,16	7,92
	3,14	6,65
	3,19	4,2
	3,31	5,82
	3,42	6,81
	2,97	7,64
	2,86
		7,42
	2,47	8,49
	3,39	7,7
	2,2	7,58
	3,74	8,55
	3,42	4,38
	2,06	8,49
	2,21	5,93
	3,65	5,47
	3,41	6,41
	2,63	5,33
	3,02	7,41
	2,61	7,46
	2,87	4,15
	3,97	7,99
	2,94	7,38
	3,18	5,92
	3,8	4,93
	2,86	4,55
	2,12	8,3
	2,18	6,65
	2,86
		7,42
	2,47	8,49
	3,39	7,7
	2,2	7,58
	3,74	8,55
	3,42	4,38
	2,06	8,49
	2,21	5,93
	3,65	5,47
	3,41	6,41
	2,63	5,33
	3,02	7,41
	2,61	7,46
	2,87	4,15
	3,97	7,99
	2,94	7,38
	3,18	5,92
	3,8	4,93
	2,86	4,55
	2,12	8,3
	2,18	6,65
	2,84	5,73
	3,16	7,92
	3,14	6,65
	3,19	4,2
	3,31	5,82
	3,42	6,81
	2,97	7,64
	2,86
		7,42
	2,47	8,49
	3,39	7,7
	2,2	7,58
	3,74	8,55
	3,42	4,38
	2,06	8,49
	2,21	5,93
	3,65	5,47
	3,41	6,41

Энергия магнитного поля

Основные формулы

• Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой

,

где I – сила тока в контуре.

• Объёмная (пространственная) плотность энергии w однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)

.

• Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления

,

где L – индуктивность контура; С – его электроёмкость.

• Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой υ колебаний

или ,

где с — скорость электромагнитных волн в вакууме (с=3*10⁸ м/с).

• Скорость электромагнитных волн в среде

где ε – диэлектрическая проницаемость; μ – магнитная проницаемость среды.

Примеры решения задач

Пример 7.1. На стержень из немагнитного материала длиной l =50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится n = 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см².

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течёт ток I, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объёма V сердечника: L=μ₀n²V, где μ₀ – магнитная постоянная. Подставив выражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V=lS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдём

W=l26 мкДж.

Пример 7.2. По обмотке метрового соленоида со стальным сердечником течёт ток I =2А. Определить объёмную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сантиметре длины l соленоида равно 7 см^-1.

Решение. Объёмная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле

w=ВН/2. (1)

Напряжённость Н магнитного поля найдём по формуле H=nlI. Подставив сюда значения п, l найдёмколичество витков соленоида (п =7 см^-1, l=1 м, nl =700 м^-1) и I, найдём

H =1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (см. рис. 5.1) зависимости В от Н. Находим, что напряжённости H =1400 А/м соответствует магнитная индукция B =1,3 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдём объёмную плотность энергии:

ω =840 Дж/м³.

Пример 7.3. На железный сердечник длиной l =20 см малого сечения (d< l) намотано N =200 витков. Определить магнитную проницаемость μ железа при силе тока I =0,4 А.

Решение. Магнитная проницаемость μ связана с магнитной индукцией В и напряжённостью Н магнитного поля соотношением

B= μ₀μH. (1)

Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как μ является функцией Н. Поэтому для определения магнитной проницаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 5.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:

μ =B/(μ₀H). (2)

Напряжённость Н магнитного поля вычислим по формуле (катушку с малым сечением можно принять за соленоид) Н=п1, где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее длину l, получим

H=(N/l)I.

Подставив сюда значения N, l и I и произведя вычисления, найдём

H=400 А/м.

По графику Рис. 5.1 находим, что напряжённости Н=400 А/м соответствует магнитная индукция B =1,05 Тл. Подставив найденные значения В и Н, а также значение μ₀ в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость:

μ =2,09 *10³.

Задача 7.1

Вариант №	l, см	n	Ток I, А	S, см2
			2,16	3,12
	52,4		0,72	2,3
	50,2		2,46	2,11
	54,2		0,76	3,47
	50,3		1,79	2,54
	53,7		2,18	3,34
	54,4		1,07	3,51
	50,4		2,45	2,98
			2,33	3,2
	53,3		1,65	3,93
			0,75	2,51
	51,6		1,48	3,31
	50,6		1,67	2,18
			1,01	3,4
			0,58	2,34
	52,5		0,54	3,76
	51,7		0,63	2,41
			1,19	3,06
	52,1		0,91	2,05
	51,8		0,83	3,72
	53,8		1,25	2,94
	54,2		1,49	3,01
	51,6		1,64	3,42
			1,16	2,86
	54,1		2,1	2,47
	50,9		2,39	2,88
			1,22	2,66
	54,6		2,09	3,96
	50,8		2,14	3,45
	53,1		2,37	2,65
			0,54	2,51
	51,6		0,63	3,31
	50,6		1,19	2,18
			0,91	3,4
			0,83	2,34
	52,5		1,25	3,76
	51,7		1,49	2,41
			1,64	3,06
	52,1		1,16	2,05
	51,8		2,1	3,72
	53,8		2,39	2,94
	54,2		1,22	3,01
	51,6		2,09	3,42
			2,14	2,86
	54,1		2,37	2,47
	50,9		0,75	2,88
			1,48	2,66
	54,6		1,67	3,96
	50,8		1,01	3,45
	53,1		0,58	2,65
	53,7		0,54	3,34
	54,4		0,63	3,51
	50,4		1,19	2,98
			0,91	3,2
	53,3		0,83	3,93
			1,25	2,51
	51,6		1,49	3,31
	50,6		1,64	2,18
			1,16	3,4
			2,1	2,34
	52,5		2,39	3,76
	51,7		1,22	2,41
			2,09	3,06
	52,1		2,14	2,05
	51,8		2,37	3,72
	53,8		2,18	2,94
	54,2		1,07	3,01
	51,6		2,45	3,42
			2,33	2,86
	54,1		1,65	2,47

Задача 7.2

Вариант №	Ток I, А	n, cм-1	l, м
	1,99		0,68
	1,32		0,48
	1,24		1,1
	1,41		0,25
	1,34		1,08
	1,76		1,03
	1,77		0,97
	1,79
	1,84		0,69
	1,41		0,42
	1,91		0,62
	1,76		0,98
	1,18		0,48
	1,03		0,73
	1,92		0,78
	1,73		0,74
	1,45		0,52
	1,59		0,41
	1,57		0,22
	1,41		0,63
	1,21		0,68
	1,27		1,12
	1,21		0,25
	1,69		0,22
	1,92		0,31
	1,66		0,32
	1,33		0,96
	1,61		0,41
	1,8		0,77
	1,68		0,96
	1,91		0,78
	1,76		0,74
	1,18		0,52
	1,03		0,41
	1,92		0,22
	1,73		0,63
	1,45		0,68
	1,59		1,12
	1,57		0,25
	1,41		0,22
	1,21		0,31
	1,27		0,32
	1,21		0,96
	1,69		0,41
	1,92		0,77
	1,66		0,96
	1,33		0,62
	1,61		0,98
	1,8		0,48
	1,68		0,73
	1,76		0,78
	1,77		0,74
	1,79		0,52
	1,84		0,41
	1,41		0,22
	1,91		0,63
	1,76		0,68
	1,18		1,12
	1,03		0,25
	1,92		0,22
	1,73		0,31
	1,45		0,32
	1,59		0,96
	1,57		0,41
	1,41		0,77
	1,21		0,96
	1,27		1,03
	1,21		0,97
	1,69
	1,92		0,69

Задача 7.3

Вариант №	l, см	N	Ток I, А
			0,525
			0,438
			0,534
			0,511
			0,401
			0,506
			0,581
			0,456
			0,444
			0,427
			0,519
			0,409
			0,526
			0,584
			0,496
			0,484
			0,545
			0,423
			0,484
			0,465
			0,462
			0,469
			0,403
			0,437
			0,461
			0,446
			0,408
			0,589
			0,579
			0,475
			0,519
			0,409
			0,526
			0,584
			0,496
			0,484
			0,545
			0,423
			0,484
			0,465
			0,462
			0,469
			0,403
			0,437
			0,461
			0,446
			0,408
			0,589
			0,579
			0,475
			0,444
			0,427
			0,519
			0,409
			0,526
			0,584
			0,496
			0,484
			0,545
			0,423
			0,484
			0,465
			0,462
			0,469
			0,403
			0,437
			0,461
			0,446
			0,408
			0,589