Основные формулы
· Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура
где Bi — проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещения dl вдоль контура L. Циркуляция вектора напряжённости Н вдоль замкнутого контура
,
· Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме) 
где m0 – магнитная постоянная; 
— алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром; п — число токов.
Закон полного тока (для произвольной среды)
· Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:
а) в случае однородного поля
Ф= BS cos a; или Ф = B n S,
где a – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции В; В n — проекция вектора В на нормаль n (B n =B cos a);
б) в случае неоднородного поля
где интегрирование ведется во всей поверхности S.
· Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида,
где Ф – магнитный поток через один виток; N — число витков соленоида или тороида.
· Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями:
а) магнитная индукция на осевой линии тороида
где I – сила тока в обмотке тороида; N — число ее витков; l 1 и l2 - длины первой и второй частей сердечника тороида; m1 и m2 – магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида; m0 – магнитная постоянная
б) напряжённость магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника
H 1= B /(m1 m2); H 1= B /(m2 m0 );
в) магнитный поток в сердечнике тороида
|
Рис. 5.1.
или по аналогии с законом Ома
Фm= F m/ R m,
где F m – магнитодвижущая сила; R m — полное магнитное сопротивление цепи;
г) магнитное сопротивление участка цепи
Rm=l/ (μμ0S).
• Магнитная проницаемостьμ, ферромагнетика связана с магнитной индукцией В поля в нем и напряжённостью Н намагничивающего поля соотношением
μ= B/ (μ0 H).
• Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряжённостью Н намагничивающего поля выражается графически (рис. 5.1).
Примеры решения задач
Пример 5.1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I =50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l =65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?
Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением
В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Вn=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой
,
где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.
Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то
dф=B(x)dS.
Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (рис. 5.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде
dФ= 
Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x 1 =a до х2=2а, найдём
|p2p.
Подставив пределы, получим
(1)
Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [m0] [ I ] [ l ]= Гн/м ×1 А ×1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдём Ф=4,5 мкВб.
Пример 5.2. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N =200 витков, идет ток I =5 А. Внешний диаметр d 1тороида равен 30 см, внутренний d 2 = 20 см.
Решение. Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной индукции поля: 
Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и напряжённости во всех точках этой линии одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 pr, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.
(1)
С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:
(2)
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
(3)
Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2prH=-NI, откуда
(4)
Для средней линии тороида r=1/2(R1R2)=1/4(d1+d2). Подставив это выражение r в формулу (4), найдём
(5)
Магнитная индукция В 0в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением B 0 = m0 H. Следовательно,
(6)
Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:
H =1,37 кА/м, B 0=1,6 мТл.
Пример. 5.3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l о=5 мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I =4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.
Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем
IN=Hl+H 0 I 0.
По графику (см. рис. 5.1) находим, что при В=0,5 Тл напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,5 кА/м. Так как для воздуха m=1, то напряжённость поля в воздушном зазоре
H 0= B/m 0=0,4 MA/м.
Искомое число витков
N=(Hl+H 0 l o )/I=800.
Задача 5.1
| Вариант № | Ток I, А | l, см |
| 53,7 | ||
| 51,6 | 68,7 | |
| 51,5 | 70,1 | |
| 51,4 | 70,3 | |
| 52,8 | 70,8 | |
| 52,5 | 67,9 | |
| 51,8 | 69,8 | |
| 53,3 | 65,4 | |
| 69,4 | ||
| 53,4 | 67,9 | |
| 50,7 | ||
| 53,2 | 65,1 | |
| 50,2 | 70,9 | |
| 69,3 | ||
| 50,3 | 65,4 | |
| 50,3 | 66,6 | |
| 51,3 | 67,4 | |
| 54,6 | 65,7 | |
| 52,2 | ||
| 52,6 | 66,2 | |
| 50,7 | 67,1 | |
| 53,5 | 68,1 | |
| 53,6 | 66,7 | |
| 51,5 | 68,7 | |
| 50,3 | 65,2 | |
| 54,8 | 67,9 | |
| 51,3 | 70,5 | |
| 52,9 | 68,4 | |
| 50,1 | 70,8 | |
| 53,3 | ||
| 65,1 | ||
| 53,4 | 70,9 | |
| 50,7 | 69,3 | |
| 53,2 | 65,4 | |
| 50,2 | 66,6 | |
| 67,4 | ||
| 50,3 | 65,7 | |
| 50,3 | ||
| 51,3 | 66,2 | |
| 67,1 | ||
| 50,3 | 68,1 | |
| 50,3 | 66,7 | |
| 51,3 | 68,7 | |
| 54,6 | 65,2 | |
| 52,2 | 67,9 | |
| 52,6 | 70,5 | |
| 50,7 | 65,2 | |
| 53,5 | 67,9 | |
| 53,6 | 70,5 | |
| 51,5 | 68,4 | |
| 50,3 | 70,8 | |
| 54,8 | 69,3 | |
| 51,3 | 70,1 | |
| 52,9 | 70,3 | |
| 50,1 | 70,8 | |
| 53,3 | 67,9 | |
| 69,8 | ||
| 53,4 | 65,4 | |
| 50,7 | 69,4 | |
| 53,2 | 67,9 | |
| 50,7 | ||
| 53,2 | 65,1 | |
| 50,2 | 70,9 | |
| 69,3 | ||
| 50,3 | 65,4 | |
| 50,3 | 66,6 | |
| 51,3 | 67,4 | |
| 54,6 | 65,7 | |
| 52,2 | ||
| 52,6 | 66,2 |
Задача 5.2
| Вариант № | N | Ток I, А | d1, см | d2, см |
| 5,86 | 21,6 | |||
| 6,21 | 31,2 | 21,1 | ||
| 5,28 | 31,5 | 20,4 | ||
| 5,48 | 31,5 | 20,3 | ||
| 5,51 | 31,5 | 22,2 | ||
| 6,86 | 32,9 | 22,8 | ||
| 5,89 | 31,7 | 21,7 | ||
| 5,89 | 21,4 | |||
| 5,18 | 31,7 | 21,2 | ||
| 5,76 | 31,6 | 20,7 | ||
| 5,63 | 32,3 | 20,9 | ||
| 5,06 | 31,1 | 21,7 | ||
| 6,14 | 22,1 | |||
| 5,72 | 32,9 | 22,7 | ||
| 5,06 | 32,7 | 20,8 | ||
| 5,41 | 30,1 | 21,8 | ||
| 5,31 | 31,2 | 21,3 | ||
| 5,48 | 30,4 | 21,7 | ||
| 6,64 | 32,3 | 22,5 | ||
| 5,23 | 31,2 | 20,7 | ||
| 5,74 | 31,7 | 20,1 | ||
| 5,45 | 30,4 | |||
| 5,6 | 32,6 | 20,6 | ||
| 5,38 | 31,7 | 20,1 | ||
| 5,71 | 32,6 | 21,3 | ||
| 6,54 | 31,5 | 20,6 | ||
| 6,98 | 31,2 | 21,7 | ||
| 6,54 | 32,1 | |||
| 5,84 | 32,5 | 21,9 | ||
| 6,96 | 32,5 | 22,5 | ||
| 5,23 | 31,5 | 20,3 | ||
| 5,74 | 31,5 | 22,2 | ||
| 5,45 | 32,9 | 22,8 | ||
| 5,6 | 31,7 | 21,7 | ||
| 5,38 | 21,4 | |||
| 5,71 | 31,7 | 21,2 | ||
| 6,54 | 31,6 | 20,7 | ||
| 6,98 | 32,3 | 20,9 | ||
| 6,54 | 31,1 | 21,7 | ||
| 5,84 | 32,6 | 22,1 | ||
| 6,96 | 31,5 | 22,7 | ||
| 5,48 | 31,2 | 20,8 | ||
| 5,51 | 32,1 | 21,8 | ||
| 6,86 | 32,5 | 21,3 | ||
| 5,89 | 32,5 | 21,7 | ||
| 5,89 | 31,5 | 22,5 | ||
| 5,18 | 31,5 | 20,7 | ||
| 5,76 | 32,9 | 20,1 | ||
| 5,63 | 31,7 | |||
| 5,06 | 20,6 | |||
| 6,14 | 31,7 | 20,1 | ||
| 5,72 | 31,6 | 21,3 | ||
| 5,06 | 32,3 | 20,6 | ||
| 5,41 | 31,1 | 21,7 | ||
| 5,31 | ||||
| 5,48 | 32,9 | 21,9 | ||
| 6,64 | 32,7 | 22,5 | ||
| 5,23 | 30,1 | 21,4 | ||
| 5,74 | 31,2 | 21,2 | ||
| 5,45 | 30,4 | |||
| 5,6 | 32,3 | 21,9 | ||
| 5,06 | 31,2 | 22,5 | ||
| 6,14 | 31,7 | 21,4 | ||
| 5,72 | 30,4 | 21,2 | ||
| 5,06 | 32,6 | 20,7 | ||
| 5,41 | 30,1 | 20,9 | ||
| 5,31 | 31,2 | 21,7 | ||
| 5,48 | 30,4 | 22,1 | ||
| 6,64 | 32,3 | 22,7 | ||
| 5,23 | 31,2 | 20,7 |
Задача 5.3
| Вариант № | l о, мм | l, м | Ток I, А | В, Тл |
| 5,62 | 1,41 | 4,82 | 0,25 | |
| 5,99 | 1,19 | 4,82 | 0,275 | |
| 5,42 | 1,23 | 4,06 | 0,3 | |
| 5,74 | 1,38 | 4,47 | 0,325 | |
| 5,12 | 1,29 | 4,42 | 0,35 | |
| 5,32 | 1,37 | 4,2 | 0,4 | |
| 5,12 | 1,36 | 4,53 | 0,425 | |
| 5,52 | 1,01 | 4,47 | 0,45 | |
| 5,94 | 1,32 | 4,25 | 0,475 | |
| 5,15 | 1,07 | 4,09 | 0,5 | |
| 5,92 | 1,02 | 4,32 | 0,525 | |
| 5,78 | 1,5 | 4,09 | 0,55 | |
| 5,64 | 1,34 | 4,6 | 0,575 | |
| 5,33 | 1,39 | 4,84 | 0,6 | |
| 5,32 | 1,44 | 4,19 | 0,625 | |
| 5,5 | 1,48 | 4,07 | 0,25 | |
| 5,73 | 1,42 | 4,6 | 0,275 | |
| 5,47 | 1,43 | 4,71 | 0,3 | |
| 5,82 | 1,23 | 4,45 | 0,325 | |
| 5,09 | 1,07 | 4,01 | 0,35 | |
| 5,19 | 1,39 | 4,5 | 0,4 | |
| 5,26 | 1,27 | 4,47 | 0,425 | |
| 5,31 | 1,16 | 4,66 | 0,45 | |
| 5,1 | 1,24 | 4,34 | 0,475 | |
| 5,65 | 1,24 | 4,74 | 0,5 | |
| 5,81 | 1,39 | 4,95 | 0,525 | |
| 5,74 | 1,42 | 4,69 | 0,55 | |
| 5,86 | 1,5 | 4,12 | 0,575 | |
| 5,84 | 1,11 | 4,53 | 0,6 | |
| 5,42 | 1,44 | 4,06 | 0,3 | |
| 5,74 | 1,48 | 4,47 | 0,325 | |
| 5,12 | 1,42 | 4,42 | 0,35 | |
| 5,32 | 1,43 | 4,2 | 0,4 | |
| 5,12 | 1,23 | 4,53 | 0,425 | |
| 5,52 | 1,07 | 4,47 | 0,45 | |
| 5,94 | 1,39 | 4,25 | 0,475 | |
| 5,15 | 1,27 | 4,09 | 0,5 | |
| 5,92 | 1,16 | 4,32 | 0,525 | |
| 5,78 | 1,24 | 4,09 | 0,55 | |
| 5,64 | 1,24 | 4,6 | 0,575 | |
| 5,33 | 1,39 | 4,84 | 0,6 | |
| 5,32 | 1,42 | 4,19 | 0,625 | |
| 5,5 | 1,5 | 4,07 | 0,25 | |
| 5,73 | 1,11 | 4,6 | 0,275 | |
| 5,47 | 1,23 | 4,71 | 0,3 | |
| 5,82 | 1,38 | 4,45 | 0,325 | |
| 5,09 | 1,29 | 4,01 | 0,35 | |
| 5,19 | 1,37 | 4,5 | 0,4 | |
| 5,26 | 1,36 | 4,47 | 0,425 | |
| 5,31 | 1,01 | 4,66 | 0,45 | |
| 5,1 | 1,32 | 4,34 | 0,475 | |
| 5,65 | 1,07 | 4,74 | 0,5 | |
| 5,81 | 1,02 | 4,95 | 0,525 | |
| 5,74 | 1,5 | 4,69 | 0,55 | |
| 5,86 | 1,34 | 4,12 | 0,575 | |
| 5,84 | 1,39 | 4,53 | 0,6 | |
| 5,92 | 1,44 | 4,04 | 0,625 | |
| 5,99 | 1,48 | 4,82 | 0,275 | |
| 5,42 | 1,42 | 4,06 | 0,3 | |
| 5,74 | 1,43 | 4,47 | 0,325 | |
| 5,12 | 1,23 | 4,42 | 0,35 | |
| 5,32 | 1,07 | 4,2 | 0,4 | |
| 5,12 | 1,39 | 4,53 | 0,425 | |
| 5,52 | 1,27 | 4,47 | 0,45 | |
| 5,94 | 1,16 | 4,25 | 0,475 | |
| 5,15 | 1,24 | 4,09 | 0,5 | |
| 5,92 | 1,24 | 4,32 | 0,525 | |
| 5,78 | 1,39 | 4,09 | 0,55 | |
| 5,64 | 1,42 | 4,6 | 0,575 | |
| 5,33 | 1,39 | 4,84 | 0,6 |