Силы, действующие на движущиеся заряды в магнитном поле

Основные формулы

• Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,

F=[l B] I

где I – сила тока; l – вектор, равный по модулю длине l проводника и совпадающий по направлению с током; В – магнитная индукция поля.

Модуль вектора F определяется выражением

F= B I l sina

где α – угол между векторами I и В.

• Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I ₁ и I ₂, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l выражается формулой

F= m₀m I₁ I₂ l/2πd/

• Магнитный момент контура с током

p_m= I S

где S – вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

• Механический момент, действующий на контур с током, помещённый в однородное магнитное поле,

M =[ p_m B].

Модуль механического момента

M=p_m B sina,

где α – угол между векторами р_m и В.

Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле

П_мех = p_m B = p_m B cos α.

Сила, действующая на контур с током в магнитном поле (изменяющемся вдоль оси x),

F = p_m ∂B/∂х cos α,

где ∂B/∂х – изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, рассчитанное на единицу длины; α – угол между векторами р_m и В.

Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой

F= Q [ v B ] или F=|Q|uB sina,

где a– угол, образованный вектором скорости v движущейся частицы и вектором В индукции магнитного поля.

 

Примеры решения задач

Пример 4.1. По двум параллельным прямым проводам длиной l =2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d =20см друг от друга, текут одинаковые токи I =1 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока (обозначим их 1_г и I ₂) текут в одном направлении.

Вычислим силу F ₁,₂, с которой магнитное поле, созданное током I ₁, действует на проводник с током I ₂. Для этого проведём магнитную силовую линию так (штриховая линия на рис. 4.1), чтобы она касалась проводника с током I ₂. По касательной к силовой линии проведём вектор магнитной индукции В ₁. Модуль магнитной индукции B ₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I ₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила (длинный проводник (l>>d) можно приближенно рассматривать как бесконечно длинный)

Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B ₁, то и тогда

(2)

Подставив в выражение (2) В ₁из (1), получим

Силу F _1,2 взаимодействия (по третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый проводник со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположной по направлению) проводников с током найдём интегрированием по всей длине второго проводника;

Заметив, что I ₁= I ₂= I и l₂=l, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы

Произведём вычисления:

Сила F ₁,₂ сонаправлена с силой d F ₁,₂ (рис. 4.1) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 4.2. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R= 10 см находится в однородном магнитном поле (B =50 мТл). По проводу течёт ток I =10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение. Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 4.2) и выделим на нем малый элемент d l с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила d F = I [dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 4.2. Силу d F представим в виде

где i и j – единичные векторы (орты); dF_x и dF_y — проекции вектора d F на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю тогда

(1)

Из рис. 4.2 следует, что

где dF – модуль вектора Векторdlперпендикулярен вектору то Выразив длину дуги d l через радиус R иугол α, получим

Тогда

Введём dF_y под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 4.2):

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдём модуль силы F:

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведём вычисления:

Пример 4.3. На проволочный виток радиусом г=10см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М_max=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=IS, то формула (1) примет вид

Отсюда, учитывая, что S= πr ², находим

(2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдём

В =104 мкТл.

 

 

Задача 4.1

Вариант №	l, м	d, см	Ток I, кА
	3,07	20,6	1,11
	2,96	23,5	1,38
	2,67	20,6	1,14
	2,98	20,3	1,96
	2,56		1,07
	2,55	20,1	1,33
	2,74	22,7	1,06
	3,47	21,2	1,57
	2,73	20,8	1,5
	3,09	21,8	1,2
	2,98	21,7	1,08
	3,37	22,4	1,91
	2,56	22,5	1,66
	2,6	22,4	1,32
	2,63		1,9
	2,54		1,8
	3,33	23,9	1,75
	3,22	21,8	1,14
	2,95	23,7	1,83
	2,89	22,4	1,37
	3,27	23,9	1,78
	2,67	20,9	1,88
	2,9	20,8	1,03
	2,98	22,4	1,04
	2,74		1,03
	3,09	23,5	1,47
	2,98	20,2	1,27
	3,05	22,9	1,8
	2,74	20,4	1,27
	2,57	20,4	1,71
	2,67	22,4	1,14
	2,98	23,9	1,96
	2,56	20,9	1,07
	2,55	20,8	1,33
	2,74	22,4	1,06
	3,47		1,57
	2,73	23,5	1,5
	3,09	20,2	1,2
	2,98	22,9	1,08
	3,37	20,4	1,91
	2,56	20,4	1,66
	2,6	20,6	1,32
	2,63	20,3	1,9
	2,54		1,8
	3,33	20,1	1,75
	3,22	22,7	1,14
	2,95	21,2	1,83
	2,89	20,8	1,37
	3,27	21,8	1,78
	2,67	21,7	1,88
	2,73	22,4	1,5
	3,09	22,5	1,2
	2,98	22,4	1,08
	3,37		1,91
	2,56		1,66
	2,6	23,9	1,32
	2,63	21,8	1,9
	2,54	23,7	1,8
	3,33	22,4	1,75
	3,22	23,9	1,91
	2,95	20,9	1,66
	2,89	22,4	1,32
	3,27	23,9	1,9
	2,67	20,9	1,8
	2,9	20,8	1,75
	2,98	22,4	1,14
	2,74		1,83
	3,09	23,5	1,37
	2,98	20,2	1,78
	3,05	22,9	1,88

Задача 4.2

Вариант №	R, см	B, мТл	Ток I, А
	10,6	50,3	11,2
	10,7	52,4	11,2
	11,7		11,3
	10,7	50,6
	11,2	50,3	11,8
	10,9	51,3	10,1
	10,5	53,6	11,6
	10,6	53,5	10,3
	11,5	53,9
	10,5	52,8	12,2
	10,1	54,2	10,6
	10,7	53,9	10,7
		50,5	11,2
	11,9	51,5	12,7
	11,7	54,3	12,8
	10,4	54,2	11,7
	10,8	50,8	11,3
	11,3	50,4	11,6
	10,6	51,4	11,1
	11,2	52,8	12,2
	11,2	50,6	11,6
	10,7	50,3	11,7
	10,1	53,5	11,9
	10,3	51,5	10,8
	10,1		10,4
	10,6	52,7	12,8
	11,8	53,1	12,8
	11,4	50,8	10,9
	11,8	54,1	11,2
	10,1		12,6
	10,6	50,3	11,8
	11,8	51,3	10,1
	11,4	53,6	11,6
	11,8	53,5	10,3
	11,5	53,9
	11,2	52,8	12,2
	10,9	54,2	10,6
	10,5	53,9	10,7
	10,6	50,5	11,2
	11,5	51,5	12,7
	10,5	54,3	12,8
	10,1	54,2	11,7
	10,7	50,8	11,3
		50,4	11,6
	11,9	51,4	11,1
	11,7	52,8	12,2
	10,4	50,6	11,6
	10,8	50,3	11,7
	11,3	53,5	11,9
	10,6	51,5	10,8
	11,2		10,4
	11,2	52,7	12,8
	10,7	53,1	12,8
	10,1	50,8	10,9
	10,3	54,1	11,2
	10,1		12,6
	10,6	53,5	10,3
	11,8	53,9
	11,4	52,8	12,2
	11,8	51,4	10,6
	11,5	52,8	10,7
	10,6	50,6	11,2
	11,5	50,3	12,7
	10,5	53,5	12,8
	10,1	51,5	11,7
	10,7		11,3
		52,7	11,6
	11,9	53,1	11,1
	11,7	50,8	12,2
	10,4	54,1	11,6

Задача 4.3

Вариант №	r, см	Ток I, А
	14,1	30,3
	12,7	38,6
	12,4	34,5
	14,1	38,6
	13,8	32,2
	11,2	34,3
	12,8	30,2
		38,2
	12,7
	11,2	38,4
	11,6
		38,1
	14,8	34,8
	14,2	33,2
	10,4	34,1
	11,8	33,9
	14,6	37,3
	12,9	37,9
	10,7	38,8
	12,4	38,9
	10,9	35,2
	11,3	33,3
	12,3	31,6
	12,8	33,8
	12,3	33,1
	10,2	30,7
	13,7	34,1
	10,5
	11,8
	11,6	38,1
		34,8
	14,8	33,2
	14,2	34,1
	10,4	33,9
	11,8	37,3
	14,6	37,9
	12,9	38,8
	10,7	38,9
	12,4	35,2
	10,9	33,3
	11,3
		31,6
	12,3	33,8
	12,8	33,1
	12,3	30,7
	10,2	34,1
	13,7
	10,5	34,1
	11,8
	11,2	38,1
	12,8	34,8
		33,2
	12,7	34,1
	11,2	33,9
	11,6	37,3
		37,9
	14,8	38,8
	14,2	38,9
	10,4	35,2
	11,8	33,3
	14,6
	12,9	37,9
	10,7	38,8
	12,4	38,9
	10,9	35,2
	11,3	33,3
	12,3	31,6
	12,8	33,8