Первого раздела дисциплины и разобрать решение задачи 7.

Решение.

1) Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

2) Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

и по упрощенной формуле , где .

Расчёт числовых характеристик по этим формулам будет производиться с помощью таблицы

-1	0,2	-0,2	-13,3	176,89	35,378	0,2
	0,1	0,6	-6,3	39,69	3,969	3,6
	0,4	5,2	0,7	0,49	0,196	67,6
	0,2	4,0	7,7	59,29	11,858	80,0
	0,1	2,7	14,7	216,09	21,609	72,9
		12,3			73,010	114,3

Из таблицы имеем . , ,

, .

3) Среднее квадратичное отклонение:

.

4) Делаем чертёж. По оси абсцисс откладываем в выбранном масштабе значение случайной величины, по оси ординат – соответствующие вероятности. Масштаб по осям откладываем разный. Строим точки с координатами , , , .

Полученные точки соединяем прямыми линиями. Получаем многоугольник распределения вероятностей заданный случайной величины.

Вычисленное значение математического ожидания откладываем от начала координат по оси абсцисс . От значения математического ожидания вправо и влево откладываем отрезки размером в одно среднее квадратичное отклонение. Чертёж представлен на рисунке 1.

5) Интегральная функция распределения определяется следующим образом:

Разобьем числовую прямую на интервалы:

(-¥;-1); [-1;6); [6;13); [13;20); [20;27); [27;+¥)

-¥ -1 6 13 20 27 +¥

Найдем значения функции F(x) на этих интервалах:

1. при х (-¥;-1) Þ F(x)=P(X< x)=0, т.к. в этом промежутке случайная величина Х не принимает ни одного значения, меньшего х.

2. при х [-1;6) Þ F(x)=P(X< x)=P(X=-1)=0,2, т.к. в этом промежутке случайная величина Х принимает одно значение х ₁= -1, меньше х.

3. при х [6;13) Þ F(x)=P(X< x)=P(X= -1)+Р(Х=6)=0,2+0,1=0,3, т.к. на данном промежутке Х принимает два значения х ₁= -1 или х ₂= 6, меньше х.

4. при х [13;20) Þ F(x)=P(X=-1)+Р(Х=6)+Р(Х=13)=0,2+0,1+0,4=0,7, т.к. левее значения Х из этого промежутка находятся значения

х ₁= -1, х ₂= 6, х ₃=13.

5. при х [20;27)Þ

F(x)=P(X=-1)+Р(Х=6)+Р(Х=13)+Р(Х=20)=0,2+0,1+0,4+0,2=0,9, т.к. левее значения Х из этого промежутка находятся значения

х ₁= -1, х ₂= 6, х ₃=13, х ₄= 20

6. при х [20;+¥) Þ

F(x) = P(X= -1)+Р(Х=6)+Р(Х=13)+Р(Х=20)=0,1+0,3+0,4+0,2=1

Следовательно, интегральная функция распределения будет иметь вид:

0, при х (-¥;-1)

0,2 при х [-1;6)

F(x)= 0,3 при х [6;13)

0,7 при х [13;20)

0,9 при х [20;27)

1, при х [27;+¥)

6) Строим график. По оси абсцисс откладываем значения случайной величины, а по оси ординат соответствующие значения F(x). Получим изолированные отрезки, образующие график интегральной функции для дискретной случайной величины (рисунок 2).

Рисунок 2.

Тема 4. Непрерывная случайная величина (задачи 61-80). Перед выполнением задач необходимо изучить вопросы 1.5 первого раздела дисциплины и разобрать решение задачи 8.

№ 61 – 80. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(х). Найти 1) плотность распределения f(х); 2)математическое ожидание; 3) дисперсию и среднее квадратичное отклонение; 4)вероятность попадания случайной величины в данный интервал ; 5) построить графики функции распределите F (х) и плотности распределения f(х).