Метод группировки членов уравнения

В этом случае исходное уравнение:

разбиваем на сумму слагаемых:

Пусть первое слагаемое имеет интегрирующий множитель:

Умножаем уравнение на M₁:

Далее следует подобрать такую функцию φ(U₁) от U₁, чтобы при умножении на нее, второе слагаемое стало полным дифференциалом:

Первое слагаемое при этом остается полным дифференциалом:

Тогда:

Далее следует подобрать такую функцию φ₂(W₁+U₂) от W₁+U₂, чтобы при умножении на нее, следующее слагаемое стало полным дифференциалом. И так далее, пока все выражение станет полным дифференциалом.

Определение интегрирующего множителя заданного вида

В предыдущем примере мы для уравнения

методом подбора угадали интегрирующий множитель вида M(xy):

На самом деле процедуры подбора можно избежать. Можно точно определить, имеется ли для заданного уравнения интегрирующий множитель заданного вида. И если имеется, то определить его.

Пусть имеется уравнение:

для которого ищется интегрирующий множитель вида:

M = M(u)

где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y.

Найдем интегрирующий множитель, или определим, что множителя такого вида не существует.

Умножим исходное уравнение на M:

Это уравнение будет уравнением в полных дифференциалах при выполнении условия:

Или:

Теперь положим, что M - функция от u, где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y. Тогда:

Подставляем:

Отсюда:

Интегрирующий множитель заданного вида существует, если правая часть является функцией от u:

Тогда:

Или:

Интегрируем:

Отсюда:

Поскольку постоянная C для интегрирующего множителя никакого значения не имеет, положим C = 1:

Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения первого порядка.

См. Степанова. Более адекватного доказательства я не нашел.

Метод последовательных приближений.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию

(2)

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике с центром в точке для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений, который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

(3)

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где