Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Пусть известно частное решение y₁(x) уравнения Риккати:

Тогда подстановкой y = y₁ + u такое уравнение приводится к уравнению Бернулли:

Или:

Или:

Это уравнение Бернулли с n = 2.

 

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

Произвольное преобразование независимого переменного:

x = φ(x ₁)

Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

 

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

 

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

 

Упрощение уравнение Риккати

Подстановкой:

где А - постоянная, уравнение Риккати приводится к виду:

где:

 

Далее, подстановкой:

оно приводится к виду:

где:

 

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати - это уравнение вида:

(1)

где A, B - постоянные. Оно интегрируется при

где n = ±1, ±2, ±3,… - целое. Сделаем подстановку:

Подставляем в (1):

Умножаем на x²:

(2)

Но:

Подставляем в (2):

Или:

(3)

где:

Уравнение (3) интегрируется при . Для этого разделим его на u² и перепишем в виде:

Или:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (3) можно преобразовать двумя путями:

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где ν - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

 

Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах – это уравнения вида

 

Если выполняется условие:

(1)

то выражение:

является дифференциалом некоторой функции:

Тогда:

(2)

Исходное уравнение:

(3)

принимает вид:

dU = 0

Отсюда получаем его интеграл:

U = C

 

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Для того чтобы определить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение соотношения (1). Поскольку вычисление производной занимает некоторое время, то сначала желательно проверить, не принадлежит ли уравнение одному из рассмотренному выше типов.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:

du ± dv = d(u ± v)

v du + u dv = d(uv)

В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Метод последовательного интегрирования

Проинтегрируем первое уравнение (2):

где φ - функция от y.

Подставляем во второе уравнение (2):

Отсюда:

Интегрируя находим φ и, тем самым, U.