Пусть известно частное решение y1(x) уравнения Риккати:
Тогда подстановкой y = y1 + u такое уравнение приводится к уравнению Бернулли:
Или:
Или:
Это уравнение Бернулли с n = 2.
Свойства уравнения Риккати
Не меняет вид уравнения:
Произвольное преобразование независимого переменного:
x = φ(x 1)
Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:
При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.
Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:
И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.
Упрощение уравнение Риккати
Подстановкой:
где А - постоянная, уравнение Риккати приводится к виду:
где:
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
где:
Упрощенное уравнение Риккати
Упрощенное уравнение Риккати - это уравнение вида:
| (1) |
где A, B - постоянные. Оно интегрируется при
где n = ±1, ±2, ±3,… - целое. Сделаем подстановку:
Подставляем в (1):
Умножаем на x2:
| (2) |
Но:
Подставляем в (2):
Или:
| (3) |
где:
Уравнение (3) интегрируется при 
. Для этого разделим его на u2 и перепишем в виде:
Или:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.
При 
уравнение (3) можно преобразовать двумя путями:
- Подстановкой
, где 
, оно преобразуется к виду:
- Подстановкой
, где 
, оно преобразуется к виду:
Таким образом, при 
, где ν - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах – это уравнения вида
Если выполняется условие:
| (1) |
то выражение:
является дифференциалом некоторой функции:
Тогда:
| (2) |
Исходное уравнение:
| (3) |
принимает вид:
dU = 0
Отсюда получаем его интеграл:
U = C
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Для того чтобы определить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение соотношения (1). Поскольку вычисление производной занимает некоторое время, то сначала желательно проверить, не принадлежит ли уравнение одному из рассмотренному выше типов.
Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v)
v du + u dv = d(uv)
В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Метод последовательного интегрирования
Проинтегрируем первое уравнение (2):
где φ - функция от y.
Подставляем во второе уравнение (2):
Отсюда:
Интегрируя находим φ и, тем самым, U.