Разряд конденсатора на активное сопротивление

Если конденсатор ,предварительно заряженный до напряжения замкнуть в момент на сопротивление (рис.1.3), то будет происходить его разряд. В данном случае внешнего воздействия нет и следует рассматривать лишь свободный процесс вцепи, т.е. уравнение (l.4) будет

,

решением которого является выражение

.

Для определения константы интегрирования воспользуемся начальным условием задачи: при .Поэтому и тогда решение принимает вид

.

Ток разряда

(1.10)

Сравнивая выражения (1.8) н (1.10),видим, что, как и следовало ожидать, направление тока разряда противоположно направлению тока заряда емкости для этой же цепи. Графики изменения напряжения и тока приведены на рнс.1.4. В процессе разряда емкости вся энергия, запасенная в ней, расходуется в активном сопротивлении в виде тепловых потерь.

1.4. Включение цепи R, L на постоянное напряжение

Рассматриваемая цепь приведена на рис.1.5.Так как энергия магнитного поля катушки индуктивности равна

,

и она не может изменяться скачком при мгновенном изменении внешнего воздействия, то отсюда заключаем, что в цепи R, L ток скачком изменяться не может. Требуется конечное время переходного процесса, пока ток в цепи не достигнет стационарного значения. Рассмотрим этот процесс. Уравнение Кирхгофа для такой цепи

Рис. 1.5

(1.11)

Общее решение этого уравнения , где - свободный ток, являющийся решением однородного уравнения

т.е. .Ток - вынужденный, который при достигает постоянной величины, равной , ибо э.д.с, самоиндукции при становится равной нулю. Таким образом,

,

здесь - постоянная времени, - постоянная интегрирования, определяемая начальным условием задачи, т.е. количеством энергии, имеющимся в магнитном поле катушки в момент . По условию при ток , энергия в катушке не запасена. Следовательно, из выражения для тока находим . Общее решение уравнения (1.11) будет

(1.12)

Из этого выражения видно, что ток нарастает по экспоненциальному закону, достигая установившейся величины тем быстрее, чем меньше постоянная времени . Как и при заряде емкости, можно за время установления принять время, равное .

По известному току находится напряжение на активном сопротивлении и на индуктивности .

(1.13)

(1.14)

Графики тока и напряжения приведены на рис.1.6. Так как до включения цепи напряжение на индуктивности было равно нулю, а в момент включения , то напряжение на индуктивности изменяется скачком, а ток изменяется непрерывно, ибо с его величиной связана энергия, запасаемая в магнитном поле катушки.

Необходимо отметить аналогию в характере изменения тока в данной цепи и напряжения на емкости в цепи при включении их на постоянное напряжения (см. рис. 1.4 и 1.6). Такая же аналогия имеет место относительно величин и в этих же цепях.

1.5. Разряд конденсатора в цепи .

Пусть предварительно заряженный до напряжения конденсатор емкостью в исходный момент времени замыкается на последовательно соединенные активное сопротивление и катушку индуктивности (рис.1.7). Рассматриваемая цепь содержит, в отличие от предыдущих примеров, два энергоемких параметра - емкость и индуктивность. Поэтому составленное на основании второго закона Кирхгофа уравнение приводится к дифференциальному уравнению второго порядка.

Действительно, имеем для суммы напряжений на элементах цепи

, (1.15)

или, так как

,

уравнение приводится к виду

. (1.16)

Аналогичное уравнение записывается и для тока в цепи

. (1.17)

Решением однородного уравнения (1.17) является

,

Где - корни характеристического уравнения

,

т.е.

,

где

, , .

Тогда решение уравнения (1.17)

. (1.18)

Постоянные интегрирования и находятся из начальных условий задачи. Так как в момент замыкания цепи конденсатор заряжен до напряжения , а в индуктивности энергия не запасена, то при , , . Поэтомуиз (l.l8) находим , т.е. , а из (1.15) имеем при или . Находя из (1.18) и учтя предыдущее равенство, получаем

.

Подставив значения констант и в выражение (1.18), находим ток

. (1.19)

Аналогично получается решение уравнения (1.18) для напряжения на емкости

. (1.20)

В зависимости от того, будет ли величиной мнимой или действительной, т.е. если или в цепи наблюдаются различные по характеру переходные процессы.

В случае или иначе , величина - действительная. Пользуясь выражением (1.19) имеем

. (1.21)

Согласно выражению (l.21) на рис.1.8 построен график тока , а также приведен график напряжения на емкости . В рассматриваемом случае характер процесса в цепи носит название апериодического разряда конденсатора. Граничным случаем апериодического процесса является случай, когда . T.e. . Величина тока для этого случая находится, если раскрыть неопределенность, получающуюся в выражении (1.19). Закон изменения тока во времени здесь таков:

.

Как видно из рис.1.8, при апериодическом разряде емкости ток в цепи вначале равен нулю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки. Затем по мере убывания этой э.д.с. ток по абсолютной величине растет. Однако в процессе разряда емкости напряжение убывает, и ток с некоторого момента также начинает убывать.

В случае , т.е. , величина - мнимая, а корни характеристического уравнения

,

где . Тогда по формулам (1.19) и (1.20) находим

(1.22)

(1.23)

где .

Для контура с высокой добротностью, т.е. если , то и , a напряжение на емкости

.

Графики тока и напряжения для этого случая приведены на рис.1.9. Такой процесс называется колебательным разрядом конденсатора. В течение этого процесса через каждые четверть периода колебаний происходит обмен энергией, запасенной в конденсаторе и катушке индуктивности. При этом часть энергии теряется в активном сопротивлении, что является причиной убывания амплитуды колебаний напряжения и тока с ростом времени, т.е. колебания затухают. Коэффициент , носящий название коэффициента затухания, определяет скорость убывания амплитуды во времени. Частота

(1.24)

называется частотой собственных колебаний (или свободных колебаний) контура. Как видно, она зависит не только от реактивных параметров контура, но и от активного сопротивления, в отличие от резонансной частоты контура , введенной при рассмотрении стационарных колебательных процессов в контуре.

Затухание колебаний иногда характеризуют логарифмическим декрементом затухания , являющимся натуральным логарифмом отношения амплитуд тока или напряжения, определяемых в моменты времени и , т.е.

. (1.25)

Время, за которое амплитуда колебаний убывает в раз,.иногда принимают за постоянную времени контура

. (1.28)

Интересно обратить внимание на то, что при последовательном соединении сопротивления коэффициент затухания не зависит от емкости . Но можно рассмотреть случай контура, в котором коэффициент затухания зависит от емкости и не зависит от индуктивности . Такой контур, где потери отнесены к емкости, изображен на рис. 1.10. Уравнение Кирхгофа для этой цепи приводится к дифференциальному уравнению, имеющему вид

,

или, так как , имеем:

.

Решение этого уравнения

,

где - коэффициент затухания.

1.6. Воздействие постоянного напряжения на L,C,R цепь

Пусть постоянное напряжение подключается в момент к последовательному контуру (рис.1.11).Уравнение Кирхгофа для рассматриваемой цепи имеет вид

, (1.27)

и его общее решение , где - вынужденный ток, в данном случае равный нулю, так как переходный процесс заканчивается, как только конденсатор зарядится до напряжения , а ток заряда прекратится. Ток - свободный ток, являющийся решением однородного уравнения

,

рассмотренного в предыдущем примере. Однако начальные условия данной задачи несколько отличаются от условий предыдущей задачи. Здесь при имеем , , а напряжение на индуктивности . Поэтому в выражении для решения этого однородного уравнения

постоянные интегрирования и равны

и тогда ток описывается выражением

, (1.28)

напряжение на индуктивности выражается зависимостью

, (1.29)

а для напряжения на емкости в соответствии с (1.27) получаем

. (1.30)

Если корни характеристического уравнения - действительные, т.е. если , то цепь апериодическая и на основании выражений (1.28), (1.29) и (l.30) можно построить графики для , и (рис.1.12). Как видно из рисунка, напряжение на конденсаторе в процессе его заряда монотонно возрастает, приближаясь при к величине . Ток вначале возрастает по мере уменьшения э.д.с. самоиндукции. Однако, с увеличением напряжения на емкости ток ее заряда должен уменьшаться. Поэтому достигнув в момент максимума, ток спадает, а напряжение на индуктивности меняет знак.

Если корни - комплексные, т.е. если , то контур становится колебательным и на основании выражений (l.28), (l.30) и полученных ранее выражений (l.22), (l.23) получаем для тока и напряжения на емкости выражения

, (1.31)

(1.32)

где, как и раньше,

Если контур имеет высокую добротность, что обычно справедливо для радиотехнических контуров, то , и для напряжения на емкости получаем приближенное выражение

. (1.33)

На рис.1.13 приведены осциллограммы напряжения на емкости (на выходе контура) и тока в контуре при подаче на его вход постоянного напряжения . Во время переходного процесса напряжение на емкости достигает максимальной величины, когда , т.е. через половину периода колебаний от момента подачи напряжения на вход цепи. К этому времени напряжение превышает величину за счет дополнительного поступления к емкости и энергии, запасенной ранее в катушке индуктивности. Из выражения (l.33) имеем

,

т.е. в контуре с большой добротностью напряжение близко к удвоенному напряжению источника .

Как видно из рис.1.13, напряжение на емкости осциллирует, приближаясь при к величине . Практически можно считать, что переходной процесс заканчивается, когда амплитуда осцилляции убывает до 5% своего максимального значения . Требующееся для этого время называется временем установления стационарного режима . Оно может быть определено из равенства

или

(1.34)

Чем меньше добротность контура и, следовательно, шире полоса пропускания , тем быстрее затухают собственные колебания в контуре и тем меньше время установления.