Одной из важных задач, которую часто приходится решать при выполнении уравнительных вычислений, является оценка точности функций уравненных неизвестных xj (уравненной функции)
Возможны два способа ее решения.
Способ 1. Если известна матрица Q весовых коэффициентов, то обратный вес уравненной функции
(3.49)
или в подробной записи
(3·50)
где матрица-строка
(3.51)
составлена из частных производных
Для случая k = 3 вместо формулы (3.50) подробно будем иметь
Так, в задаче 3.17 обратный вес суммы уравненных углов F = x1 + х2 + х3 (шестой угол) найдём, учитывая, что все fi = 1,
В матричной форме согласно формуле (3.49) получим тот же результат
Заметим, что матричную форму (3.49) удобно применять, когда оценивается не одна, а сразу несколько, пусть m, функций. В этом случае матрица f имеет размер m*k, причем каждая ее i - я строка соответствует i - й функции и составляется согласно (3.51). В этом случае в левой части выражения (3.49) вместо обратного веса 1/PF следует писать матрицу обратных весов системы функции (вектор - функции).
Например, если оценивается точность двух функций
F1 = x1 + x2; F2 = x1 + x2 + x3;
- уравненных углов 4 и 6 (см. рис. 46), то получим
Матрица QF симметричная. С ее помощью находим коэффициент корреляции
Частным случаем оцениваемых функций являются уравненные результаты измерений (уравненные измерения). В этом случае для 
будем иметь коэффициенты функции f1 = ai, f2 = bi … fk = gi, а для совокупности всех уравненных измерений получим матрицу обратных весов
(3.52)
3.24. Применяя формулу (3.52), доказать, что 
.
3.25. Дана матрица обратных весов
уравненных отметок узлов нивелирной сети (см. рис. 40). Найти матрицу обратных весов всех пяти превышений.
Решение. Составляем матрицу коэффициентов уравнений поправок согласно (3.7)
(3.53)
Далее согласно формуле (3.52) находим
3.26. Найти обратные веса уравненных дирекционного угла и длины стороны триангуляции между пунктами 1 и 2, если α12 = 90°, S = 2063 м. а матрица весовых коэффициентов координат пунктов x1 y1, x2 y2
Вычислить средние квадратические ошибки mα и ms, если μ = 0,02 м.
Указание. Коэффициенты функций составить согласно выражениям (3.10) и (3.9).
Ответ: 
, 
, 
, 
Способ 2 (способ дополнительного столбца). Если весовые коэффициенты неизвестны, то применяют формулу
(3.54)
в которой fk+1 = 0
и т. д.
Если условно обозначить
(3.55)
то алгоритм Гаусса [fk+1.k] раскрывается так же, как и [ll.k]. Алгоритмы [f2.1], [f3.2],..., [fk(k - 1)] раскрываются так же, как и алгоритмы [bl.1], [cl.2],..., [gl.(k - 1)], если иметь в виду обозначения (3.55).
Легко понять теперь, что алгоритм 1/PF можно получить в схеме Гаусса, если в нее ввести дополнительный столбец свободных членов (3.55). Сделав в нем те же преобразования, что и в основном столбце свободных членов l, в результате получим алгоритм
Для контроля вычислений служит формула
в которой вновь введены суммы
(3.56)
Таблица 45
| f | Σ | f | Σ |
| 1,00 -0,333 | 7,00 -2,333 | ||
| 0,33 -0,124 | 4,33 - 1,622 | ||
| 0,51 - 0,254 | 2,51 - 1,249 | ||
| —1/Ρf -0,50 | - 0,51 |
Для раскрытия алгоритмов с символом Σ следует условно считать, что
, 
… 
, 
(3.57)
Тогда алгоритм [Σk+1.k] будет раскрываться так же, как и [ls.k], т.е. l/PF = [ls.k], а алгоритмы [Σ2.1], [Σ3.2],..., [Σk.(k - 1)] - как алгоритмы [bs.l], [cs.2],..., [gl.(k-1)], если учитывать обозначения (3.55) и (3.57), например
Найдем обратный вес функции в задаче 3.17. Добавив в схему Гаусса два дополнительных столбца f и Σ и выполнив их преобразование, получим (табл. 45), обратный вес 
Подобным образом в схеме Гаусса можно оценивать точность сразу нескольких функций.
§ 32. ЗАДАЧИ НА УРАВНИВАНИЕ РАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
3.27. Выполнить уравнивание дирекционных углов в сети триангуляции (рис. 46). Оценить их точность и точность уравненного угла 
.Исходные дирекционные углы: αOA =0, αOB = 135° 40” 19.5" Измеренные углы приведены в табл. 46.
Решение. 1) Составляем 9 (по числу измерений) уравнений поправок
Рис. 46
υ1 = δx2 – δx1 +l1
υ2 = - δx2 +l2
υ3 =+ δx1 +l3
υ4 = δx4 – δx3 +l4
υ5 = δx2 – δx4 +l5
υ6 = δx3 – δx4 +l6
υ7 = - δx5 +l7
υ8 = δx4 +l8
υ9 = δx5 – δx4 +l9
где через δxj(j = 1, 2,..., 5) обозначены поправки к приближенным значениям дирекционных углов сторон.
2) Вычисляем приближенные дирекционные углы сторон и свободные члены
Таблица 46
| Номера углов | Измеренные углы | Уравненные углы | |
| 64° 36' 00,9" 65 53 45,2 49 30 19,3 | 1",4 -2’,6 -1’,4 | 64°35'59,5" 65 53 42,6 49 30 17,9 | |
| Σ | 180 00 05,4 | -5,4 | 180° 00' 00,0 |
| 55 19 45,2 55 12 15,1 69 27 52,6 | 2,7 1,6 2,8 | 55 19 47,9 55 12 16,7 69 27 55,4 | |
| Σ | 179 59 52,9 | 7,1 | 180 00 00,0 |
| 33 44 19,4 103 13 43,4 43 02 01,7 | - 1,1 - 2,2 - 1,1 | 33 44 18,3 103 13 41,2 43 02 00,6 | |
| Σ | 180 00 04,5 | -4,4 | 179 59 59,9 |
Составляем и решаем нормальные углвнения (табл. 47—49).
| Таблица 47 | ||||||||
| Номера измерений | ai | bi | ci | di | ei | li | si | vi |
| -1 | -1 -1 | -1 | - 1 - 1 | -1 | -5,4 0 0 10,3 -3,2 -4,5 | -5,4 -1 10,3 -3,2 - 1 -4,5 | - 1,41 -2,57 -1,42 2,74 1,61 2,75 -1,13 -2,24 - 1,13 | |
| δxj -1,42 2,57 5,32 -2,24 1,13 Контроль -0,01 0,02 0,01 0 02 0 [av] [bv] [cv] [dv] [ev] | [vv] = 35,98 [lv] = 35,77 | |||||||
| Таблица 48 | |||||||||
| a] | b] | c] | d] | e] | l] | s] | f | Σ | |
| [a | -1 | 5,4 | 6,4 | ||||||
| [b | - 1 | - 1 | -8,6 | -7,6 | -1 | ||||
| [с | - 1 | -10,8 | -10,3 | ||||||
| [d | -1 | 18,0 | 19,0 | ||||||
| [e | -4,6 | -3,5 | |||||||
| [l | 165,74 | 165,74 | |||||||
| [s | 169,74 | ||||||||
| Таблица 49 | |||||||||||
| Вспомогательные величины | δx1 | δx2 | δx3 | δx4 | δx5 | ι | s | Контроль | f | Σ | Контроль |
| (0,5000) | -1 | -1 0,500 | 5,4 -2,700 | 6,4 -3,200 | 6,4 -3,200 | 1,00 -0,500 | 1,00 -0,500 | ||||
| (0,2857) | 3,50 -1 | - 1,00 0,286 | - 1,00 0,286 | -5,90 1,686 | -4,40 1,257 | -4,40 1,258 | - 1 0,286 | 0,50 0,142 | 0,50 -0,143 | ||
| (0,5848) | 1,71 -1 | - 1,29 0,754 | - 11,99 7,012 | -11,56 6,760 | - 11 57 6,,46 | 0,71 -0,415 | 1,14 -0,667 | 1,14 -0,667 | |||
| (0,3650) | 2,74 - 1 | -1 0,365 | 7,27 -2,653 | 9,02 -3,292 | 9,01 -3.253 | 0,25 -0,091 | 2,00 -0,730 | 2,00 -0,730 | |||
| (0,6098) | 1,64 -1 | - 1,85 1,128 | -0,21 0,128 | -0,21 0,128 | 0,09 -0,055 | 1,73 - 1,053 | 1,73 -1,055 | ||||
| -1,416 -2,419 | 2,567 1,562 | 5,322 4,313 | -2,241 -3,245 | 1,128 0,128 | 35,760 | 35,75 35,86 | 
| -0,608 | -0,607 | |
| Контроль | 1,003 | 1,005 | 1,009 | 1,004 | 1,000 |
Продолжение табл. 49
Матрица Q получена по способу Ганзена.
| Контроль | Q1j | Q2j | Q3j | Q4j | Q5j | |
| 1,000 1,003 1,0044 1,0035 0,9970 | 0,6114 | 0,2228 0,4455 | 0,16777 0,3354 0,8375 | 0,1117 0,2235 0,3352 0,4462 | 0,0486 0,0971 0,1676 0,2226 0,6098 | |
| 0,2228 0,1677 0,1117 0,0486 | ||||||
| 0,3354 0,2235 0,0971 | ||||||
| 0,3352 0,1676 | ||||||
| 0,2226 |
Заметим, что матрицу коэффициентов нормальных уравнений в этой задаче
можно обратить в общем виде
Как видно, обращенная в схеме Гаусса матрица Q получена с точностью до 0,001.
4) Поправки νi вычислены и приведены в табл. 47. Как видно, контроли [av] = [bv] =... = lev] = 0 выполняются в пределах точности вычислений.
5) Вычисление уравненных углов 
с контролем выполнено в табл. 46. Выполняется также контроль
6) Вычисляем уравненные дирекционные углы
х1 = 229°30'17,9"; х4 = 238°54'00,7";
х2 = 294°06'17,4"; х6 = 281°56'01,2".
х3= 183°34'12,7";
7) Делаем окончательный контроль
8) Выполняем оценку точности.
Средняя квадратическая ошибка измеренного угла
Средние квадратические ошибки уравненных дирекционных углов:
Средняя квадратическая ошибка функции
Обратный вес функции определен в дополнительном столбце схемы Гаусса добавлением столбца (см. табл. 49)
а также по формуле
3.28. В табл. 50 приведены результаты измерения углов во всех комбинациях (рис. 47) в 30 вариантах. Уравнять эти углы параметрическим способом по одному из вариантов и вычислить средние квадратические ошибки углов АОВ, ВОС, COD, DOE.
3.29. Уравнять дирекционные углы сторон триангуляционного построения (рис. 48) по одному из следующих вариантов (табл. 51 и 52). Дирекционные углы 
= 270°00'00,0", 
= 102°56'57,5".
Рис. 47
Рис. 48
| Τ а б л и ц а 50 | |||||||||||||||||||
| Углы | Измеренные значения углов без секунд | Варианты | |||||||||||||||||
| б | |||||||||||||||||||
| Секунды измеренных углов | |||||||||||||||||||
| АОВ | 32°26' | 17,3 | 16,5 | 16,0 | 15,5 | 15,0 | 18,0 | 18,5 | 19,0 | 19,5 | 17,0 | ||||||||
| BOC | 51 15 | 50,2 | 50,4 | 50,7 | 51,1 | 51,4 | 49,8 | 49,4 | 49,0 | 48,7 | 50,0 | ||||||||
| COD | 61 42 | 21,1 | 21,5 | 21,9 | 22 4 | 22,8 | 23,1 | 23,5 | 23,8 | 24,0 | 24,3 | ||||||||
| DOE | 89 31 | 46,4 | 46,1 | 45,8 | 45,4 | 45,7 | 45,3 | 45,4 | 44,6 | 44,0 | 45,0 | ||||||||
| АОС | 83 42 | 08,0 | 08,5 | 08,9 | 08,7 | 09,1 | 09,3 | 09,8 | 10,5 | 10,7 | 10,1 | ||||||||
| BOD | 112 58 | 13,9 | 13,6 | 14,3 | 15,0 | 14,7 | 15,4 | 15,9 | 16,2 | 16,5 | 17,0 | ||||||||
| СОЕ | 151 14 | 10,5 | 10,7 | 10,9 | 11,1 | 11,3 | 11,4 | 11,6 | 11,8 | 11,5 | 12,2 | ||||||||
| AOD | 145 24 | 26,3 | 26,1 | 25,8 | 25,5 | 25,3 | 26,5 | 26,8 | 27,1 | 27 4 | 27,8 | ||||||||
| ВОЕ | 202 29 | 56,8 | 56,8 | 57,0 | 57,1 | 57,2 | 57,3 | 57,4 | 57,5 | 57,6 | 57,7 | ||||||||
| АОЕ | 234 56 | 15,6 | 15,3 | 15,0 | 14,7 | 14,4 | 16,0 | 16,3 | 16,6 | 16 9 | 15,8 | ||||||||
| Продолжение табл. 50 | |||||||||||
| Измеренные значения углов без секунд | Варианты | ||||||||||
| Углы | |||||||||||
| Секунды измеренных углов | |||||||||||
| АОВ | 37°26' | 20,2 | 18,0 | 17,8 | 17,5 | 19,1 | 18,9 | 15,2 | 17,5 | 17,3 | 16,6 |
| BOC | 51 15 | 45,8 | 43,8 | 46,6 | 45,9 | 48,6 | 48,8 | 49,6 | 51,6 | 47,5 | 52,4 |
| COD | 61 42 | 20,8 | 20,1 | 18,1 | 18,0 | 17,5 | 19,2 | 16,9 | 17,9 | 17,7 | 17,8 |
| DOE | 89 31 | 40,5 | 39,7 | 42,6 | 45,5 | 44,2 | 40,9 | 45,2 | 45,3 | 41,8 | 43,9 |
| АОС | 88 42 | 06,5 | 05,8 | 07,3 | 06,8 | 07,5 | 08,4 | 03,6 | 04,5 | 03,5 | 05,3 |
| BOD | 112 58 | 02,4 | 07,5 | 03,4 | 07,6 | 02,2 | 10,3 | 07,4 | 06,4 | 08,5 | 08,1 |
| СОЕ | 151 14 | 02,6 | 03,4 | 04,3 | 01,2 | 04,2 | 03,2 | 00,1 | 01,2 | 01,9 | 02,8 |
| AOD | 150 24 | 21,5 | 26,1 | 22,2 | 24,8 | 21,0 | £5,4 | 24,5 | 27,7 | 21,4 | 23,2 |
| ВОЕ | 202 29 | 42,5 | 43,5 | 46,3 | 50,2 | 46,2 | 44,9 | 54,3 | 56,2 | 45,3 | 56,2 |
| АОЕ | 239 56 | 06,8 | 05,7 | 08,2 | 07,5 | 05,3 | 04,6 | 06,4 | 08,4 | 07,6 | 10,3 |
| Продолжение табл. 50 | |||||||||||
| <υ L, | Варианты | ||||||||||
| Углы | Измереннь значения > лов без се кунд | ||||||||||
| Секунды измеренных углов | |||||||||||
| АОВ | 60°43' | 15,2 | 16,2 | 13,9 | 14,5 | 12,9 | 13,5 | 12,8 | 11,2 | 14,7 | 12,1 |
| вое | 37 41 | 32,4 | 31,4 | 32,4 | 33,2 | 34,1 | 32,6 | 32,1 | 31,5 | 31,9 | 33,2 |
| COD | 87 21 | 28,1 | 30,8 | 29,5 | 27,8 | 28,4 | 28,8 | 31,1 | 28,4 | 29,5 | 29,3 |
| DOE | 101 53 | 12,6 | 13,2 | 14,6 | 14,6 | 15,2 | 12,9 | 11,8 | 12,5 | 13,0 | 15,2 |
| АОС | 98 24 | 43,7 | 44,3 | 42,5 | 43,0 | 43,8 | 41,9 | 41,1 | 41,6 | 43,2 | 41,5 |
| BOD | 125 03 | 11,1 | 08,5 | 09,4 | 10,1 | 10,7 | 06,9 | 06,5 | С5,1 | 07,0 | 04,6 |
| СОЕ | 189 14 | 43,8 | 43,0 | 42,6 | 42,9 | 43,4 | 42,6 | 41,9 | 42,8 | 45,5 | 46,4 |
| AOD | 185 46 | 19,6 | 20,5 | 21,7 | 20,4 | 21,0 | 19,8 | 18,8 | 15,4 | 17,2 | 12,2 |
| ВОЕ | 226 56 | 12,2 | 11,1 | 12,9 | 13,3 | 13,9 | 13,0 | 12,1 | 14,5 | 16,6 | 17,9 |
| АОЕ | 287 39 | 24,3 | 25,6 | 27,0 | 26,1 | 26,6 | 25,8 | 25,1 | 24,2 | 25,3 | 26,4 |
| Таблица 51 | ||||||||
| Номера треугольников | Номера углов | Измеренные значения углов(без секунд) | Номера треугольников | Номера углов | Измеренные значения углов(без секунд) | Номера треугольников | Номера углов | Измеренные значения углов(без секунд) |
| I | 69"33' | 66 47 | 46 25 | |||||
| I | 60 35 | II | 59 10 | III | 73 11 | |||
| 49 51 | 54 02 | 60 22 |
3.30. В нивелирной сети, содержащей одну узловую точку (рис. 49), измерены превышения h1 = 1,368; h2 = 4,694; h3 = -0,905. Найти уравненное значение отметки узлового репера и ее вес, если длины ходов примерно одинаковы, а отметки исходных марок Η1 = 189,617; Н2 = 186,292; Н3 = 191,880.
3.31. Даны уравнения поправок V = АΔх+ L, где матрица
Рис. 49
Рис. 50
а вектор свободных членов
Составить и решить с контролем систему нормальных уравнений, если измерения равноточны.
3.32. Дана система нормальных уравнений
и величина [ll] = 2. Найти [υυ].
3.33. В равностороннем треугольнике получены следующие результаты измерений превышений по всем сторонам: h1 = 2,500, h2 = 1,820, h3 = -4,315.
Выполнить уравнивание превышений и найти их веса.
3.34.Внутри исходного угла АОВ (рис. 50), равного 91°01'15", измерены три угла: y1 = 25°00'10", y2 = 35°50'50", y3 = 30°10'00". Составить уравнения поправок и вычислить среднюю квадратическую ошибку суммы уравненных углов 
3.35. Даны уравнения поправок: 1) 2х1 - 2х2 + 4 = υ1, 2) – х1 + 2х2 = υ2,
3) 3x1 - 2х2 + 2 = υ3.
Найти среднюю квадратическую ошибку функции уравненных величин u = 29,3 - 7,0x1 + 5,5х2.
3.36. Уравнять параметрическим способом сеть трилатерации, изображенную на рис. 51. Оценить точность уравненных координат, длины и дирекционного угла стороны BD.
Исходные данные - координаты пунктов А, О, С приведены ниже:
Пункт x у
А 1813,119 0
0 0 0
С -1527,638 1492,213,
| Таблица 53 | |||
| Номера сторон | s | υi | |
| 1832,120 1526,358 1524,054 1737,975 3046,229 | - 0,001 0,001 - 0,001 0,001 - 0,000 | 1832,119 1526,359 1524,053 1737,976 3046,229 |
Рис. 51
а измеренные светодальномером СМ-2М длины сторон - в табл. 53.
Решение задачи необходимо начать с вычисления приближенных координат пунктов D и В. Однако этот процесс достаточно трудоемкий (подробно он изучается в курсе «Высшая геодезия»). Поэтому координаты мы приведем ниже, не выполняя здесь вычислений.
Пункт x у
D 623,360 -1393,272
В - 897,701 -1488,183
| Таблица 54 | ||||||
| Номера сторон | αί | cos α. | sin a. | Δxi(0) | Δyi(0) | S-(0) |
| 229°30' 294 06 183 34 238 54 281 56 | - 0,649 0,408 - 0,998 - 0,517 0,207 | -0,760 -0,913 -0,062 -0,856 -0,978 | -1189,759 623,360 - 1521,061 -897,701 629,937 | - 1393,272 - 1393,272 - 94,911 - 1488,183 -2980,396 | 1832,139 1526,363 1524,019 1737,975 3046,240 |
1. Составление уравнений поправок.
Как было получено в задаче 3.2, эти уравнения имеют вид
(3.58)
если стороне i придать направление с начального пункта к конечному. Необходимые для вычисления коэффициентов cosai и sinai дирекционные углы с точностью до минут возьмем из задачи 3.27. Вычисления расположим в табл. 54.
Приближенные длины сторон Si(0) вычислены по формуле
на миникомпьютере без промежуточных записей. Свободные члены находят по формуле 
2. Составление нормальных уравнений и их решение дано в табл. 55-57. Еще раз покажем подробно на числах, как вычисляются весовые коэффициенты Qij:
Q44= 1/[dd.3]=0.629;
Q43=0.629(-0,3879) = -0,244;
Q42=0,629 (-0,0022) + (-0,244) (-0,0373) =0,008;
Q41=0,629 
0,0391 + (- 0,024) (0,6288+0,008(-0,1149)=- 0,130;
контроль:
(-0,062) (-0,130) + (-0,004)0,008+0,302(-0,244) + 1,693 0,629=0,999
Q33= 1,4749+ (-0,244) (-0,3879) = 1,570,
Q32=(-0,244) (-0,0022)+ 1,570(-0,0373) =-0,058,
| Таблица 55 | |||||||
| Номера измерений | ai | bi | ci | di | li | si | νi |
| -0,649 | -0,760 | 1,9 | 0,491 | -0,101 | |||
| 0,408 | -0,913 | 0,5 | -0,005 | 0,075 | |||
| 0,998 | 0,062 | -0,998 | -0,062 | -3,5 | -3,500 | -0,097 | |
| -0,517 | -0,856 | -1,373 | 0,139 | ||||
| 0,207 | -0,978 | 1,1 | 0,329 | -0.ΙΙ5 | |||
| δj | 1,667 | 1,210 | - 1,722 | 0,878 | [νν] = 0,058 | ||
| -0,001 | 0,002 | 0.001 | [lν] = 0,059 |
| Τаблица 66 | ||||||
| a] | b] | c] | d] | l] | S] | |
| [a | 1,584 | 0,182 | -0,996 | -0,062 | -4,522 | -3,814 |
| [b | 1,414 | -0,062 | -0,004 | -2,118 | -0,588 | |
| [с | 1,306 | 0,302 | 3,721 | 4,271 | ||
| [a | 1,693 | -0,858 | 1,070 | |||
| [1 | 17,230 | 13,524 | ||||
| [s | | | 14,484 |
Q31= (-0,244) (0,0391) + 1,510 0,6288+ (-0,058) (0,1149) =0,984;
контроль: -0,996 0,984(0,058) (-0,062) +1,570 1,306+(-0,244) 0,302 = 1,000,
Q22 = 0,718+ (-0,058) (-0,0373) +0,008(-0,0022) = 0,720,
Q11 =0,720 (-0,1149) + (-0,058) 0,6288+0,008 0,391 = -0,119;
контроль:
0,182(-0,119) + 1,414 0,720+ (-0,062) (-0,058) + (-0,004) (0,008) = 1,000,
Q11 = 0,631 + (-0,119) (-0,1149)+0,984 0,6288+0,130 0,0391 = 1,258;
контроль:
1,584 1,258 + 0,182(-0,119) + (-0,996) 0,984 + (-0,062)(-0,130) = 0,999.
Напомним, что вычисляются числа только в нижней части таблицы, верхняя часть заполняется симметрично нижней.
Составление нормальных уравнений можно выполнить, минуя традиционную схему. В самом деле, если уравнение поправок (3.58) записать в виде
где матрица Сi = (cos ai sin ai), а
то получим для каждой стороны матрицу
(3.59)
Матрицу коэффициентов нормальных уравнений, представив ее в блочном виде порядка k, где k - число определяемых пунктов, получим по формулам [7]:
1) диагональные блоки
(3·60)
| Τаблица 57 | |||||||
| Вспомогательные величины | а | b | c | d | l | s | Контроль |
| (0,6313) | 1,584 (-1) | 0,182 -0,1149 | -0,996 0,6288 | -0,062 0,0391 | -4,522 2,8548 | -3,814 2,4078 | -3,814 2,4078 |
| (0,7179) | 1,393 (-1) | +0.052 -0,0373 | +0,003 -0,0022 | - 1,598 1,1472 | -0,150 0,1077 | -0,150 0,1077 | |
| (1,4749) | 0,678 (-1) | 0,262 -0,3879 | 0,937 - 1,3820 | 1,878 -2,7699 | 1,874 -2,7099 | ||
| (0,6293) | 1,589 (-1) | - 1,395 0,8779 | 0,193 -0,1215 | 0,194 -0,1221 | |||
| 1,6670 | 1,2095 | - 1,7225 | 0,8779 | 0,153 | 0,056 | |
| 0,6669 | 0,2095 | -2,7228 | -0,1215 | |||
| 1,0001 0,998 1,000 1,000 0,999 | 1,0000 1,258 -0,119 0,984 -0,130 | 1,0003 Q2 -0,119 0,720 -0,058 0,008 - | 0,9994 Q3 0,984 -0,058 1,570 -0,244 | Q4 -0,130 0,008 -0,244 0,629 |
(суммируются матрицы Ri тех сторон, которые принадлежат пункту с номером j;
2) недиагональные
(3.61)
16/, S
где Ri - матрица той стороны, которая принадлежит определяемым пунктам j, s. Так, в нашей задаче
R11 = R1 + R2 + R3; R22 = R3 + R4 + R5; R12= - R3;
Составляющие свободного члена ATL = b вычисляются по формуле
(3.62)
Знак «+» ставится, если сторона i направлена к точке j, знак «-» - в противоположном случае. Так,
Вычисления выполняют в табл. 58.
| Таблица 58 | |||||
| Номера сторон | Матрица Сi | Матрица Ri | li | CTli | |
| -0,649 -0,760 | 0,421 | 0,493 0,578 | 1,9 | -1,233 - 1,444 | |
| 0,408 -0,913 | 0,166 | -0,372 0,833 | 0,5 | 0,204 -0,456 | |
| -0,998 -0,062 | 0,996 | 0,062 0,004 | -3,5 | +3,493 0,217 | |
| -0,517 -0,853 | 0,268 | 0,442 0,732 | |||
| 0,207 -0,978 | 0,043 | -0,202 0,956 | 1,1 | 0,228. -1,076 |
Матрицы
Вектор
Рассмотренный способ значительно сокращает объем вычислений при составлении нормальных уравнений.
3. Вычисление поправок (3.58) и их контроль [av] = [bv] = [cv] = [dv] = 0 выполнены в табл. 55.
4. Вычисление уравненных неизвестных:
| Таблица 59 | |||||||
| Номера сторон | 
| 
| Si | Номера сторон |
|
| Si |
| -1189,742 623,377 - 1521,095 | -1393,260 -1393,260 -94,914 | 1832,119 1526,359 1524,053 | 4 5 | -897,718 629,920 | - 1488,174 -2980,387 | 1737,976 3046,228 |
5. Окончательный контроль решения задачи
где Si, Δxi и Δyi - соответственно уравненные длины сторон (см. табл. 53) и уравненные приращения координат. Вычисления представлены в табл. 59. Как видно, задача решена верно.
6. Оценка точности функций.
Коэффициенты fj функции - уравненной длины стороны BD совпадают с коэффициентами уравнения поправок для этой стороны, т. е. матрица
f = (0,993 0,062 - 0,998 -0,062).
Для того чтобы получить матрицу j для второй функции - уравненного дирекционного угла этой стороны, необходимо вычислить коэффициенты уравнения поправок для дирекционного угла (см. задачу 3.3). Поэтому будем иметь
или, так как
Далее по формуле (3.49) находим матрицу QF = fQfТ. При этом
и 
Так как в нашей задаче число избыточных измерений r = n - k = 5 - 4 = 1 недостаточно, чтобы можно было вычислить среднюю квадратическую ошибку измерения, то невозможно вычислить и ошибки mF функций. Однако большой опыт измерений позволяет считать известным среднее квадратическое отклонение 
= 0,02 м.
Для координат пунктов имеем
| Таблица 60 | |||||
| Номера сторон | Измеренные дирекционные углы | Секунды уравненных дирекционных углов | Номера сторон | Измеренные дирекционные углы | Секунды уравненных дирекционных углов |
| 229°30'15,9" 294 06 16,5 183 34 09,2 | 15,9 16,6 09,2 | 238 54 02,2 281 56 06,8 | 02,2 06,8 |
а для функций
3.37. Уравнять параметрическим способом сеть (см. рис. 52), в которой были измерены гиротеодолитом дирекционные углы (результаты измерений приведены в табл. 60). Оценить точность тех же элементов сети, что и в задаче 3.36.
Решение. 1. Полагая известными приближенные координаты пунктов D и С (см. задачу 3.36), составляем уравнение поправок для дирекционных углов сторон (см. задачу 3.3)
где свободный член
Вычисления располагаем в табл. 61.
| Таблица 61 | |||||
| Номера сторон | 
| 
| 
| 
| 
|
| 1832 1526 1524 1738 3046 | -0,856 102 - 1,234 -0,084 -1,018 -0,662 | 0,731-102 -0,552 + 1,350 +0,614 -0,140 | 1,171054 -2,2351001 0,0623979 1,6577714 -4,7312604 | 229° 30'17,8" 294 06 14,7 183 34 13,8 238 54 02,9 281 56 03,8 |
| Таблица 62 | |||||||
| Номера измерений | 
| 
| 
| 
| li | Si | vi |
| +0,858 | -0,731 | + 1,7 | 1,827 | -0,029 | |||
| 1,234 | +0,552 | - 1,8 | -0,014 | 0,015 | |||
| -0,084 | + 1,350 | +0,084 | -1,350 | +4,6 | +4,600 | -0,019 | |
| 1,018 | -0,614 | +0,7 | 1,104 | 0,036 | |||
| 0,662 | +0,140 | -3,8 | -2,998 | -0,043 | |||
| 0,271 | 2,683 | 3,139 | 6,283 | |||
| -0,005 | 0,004 | 0,006 | 0,002 | ||||
| Таблица 63 | |||||||||
| Номера сторон | Аi | Ri | li | ATL | |||||
| -0,856 | 0,731 | 0,733 | -0,626 0,534 | 1.7 | -1,455 1,243 | ||||
| -1,234 -0,084 | -0,552 1,350 | 1,523 0,007 | 0,681 0,305 -0,113 | -1,8 +4,6 | 2,221
0,994
-0,
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2019-04-17 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Интересно: |