Вычисление пределов функций

Практическое вычисление пределов основывается на свойствах пределов, описанных в теоретической части.

Задача 1. Найти .

Основываясь на свойствах пределов (предел суммы и произведения), имеем

.

Напомним, что элементарные функции непрерывны в своей области определения, а значит, предел функции в точке области определения равен значению функции в этой точке. Поэтому для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение. Тогда вычисление последнего предела можно оформить так: .

Кроме того, при вычислении пределов необходимо помнить и о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Задача 2. Найти .

Поскольку знаменатель дроби при является бесконечно большой величиной, то обратная величина есть бесконечно малая, а значит, .

Однако не всегда подстановка предельного значения аргумента в функцию позволяет сразу получить результат. Часто возникают неопределенности различных видов: .

Рассмотрим задания, связанные с раскрытием различных видов неопределенностей.

1. Неопределенность

Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если . Раскрыть эту неопределенность – значит, найти . Приведем основные методы раскрытия такой неопределенности.

а) Разложение многочленов, присутствующих в числителе и знаменателе дроби, на множители

Задача 3. Найти .

При подстановке предельного значения в функцию убеждаемся, что имеем неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку в числителе присутствует квадратный трехчлен, то для его разложения найдем корни (). В знаменателе используем формулу сокращенного умножения – сумму кубов. Получим:

.

б) Перевод иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, для снятия неопределенности вида применяется перевод иррациональности из знаменателя в числитель и, наоборот, путем домножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к имеющемуся в дроби иррациональному выражению.

Задача 4. Найти .

Имеем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , являющееся сопряженным к числителю исходной дроби. Получим:

в) Применение первого замечательного предела

При вычислении некоторых пределов, содержащих тригонометрические функции можно использовать первый замечательный предел:

.

Задача 5. Найти .

Предел вычислили непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в функцию.

г) Применение таблицы эквивалентности

Данный метод основан на том, что предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Таблица эквивалентности (при )

Задача 6. Найти .

Имеем неопределенность вида . Поскольку при , то , т.е. является бесконечно малой функцией, а значит, на основании таблицы эквивалентности .

Получаем:

.

Задача 7. Найти .

.

Т.е. поскольку при , то , а значит, .

2. Неопределенность

Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если . Раскрыть эту неопределенность – значит найти .

Примером такой неопределенности является дробно-рациональная функция , где и – многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно. Для раскрытия такой неопределенности необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую из степеней многочленов и , а затем использовать теоремы о пределах.

Задача 8. Найти .

Разделим числитель и знаменатель дроби на (как старшую из степеней числителя и знаменателя), получим:

.

При этом использовали свойства пределов (предел дроби, суммы, вынесение константы за знак предела), а также, что функции и бесконечно малые при , а значит, .

Вообще, используя этот прием можно показать, что справедливо следующее правило:

Задача 9. Найти .

Разделим числитель и знаменатель дроби на :

,

поскольку обратная к бесконечно малой величине есть бесконечно большая.

3. Неопределенность

Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если .

При раскрытии такой неопределенности используется второй замечательный предел: или .

Задача 10. Найти .

.

Задача 11. Найти .

Задача 12. Найти .

4. Неопределенности

Неопределенности алгебраическими преобразованиями сводятся к уже рассмотренным выше неопределенностям.

Задача 13. Найти .

Используя свойства логарифма, выполним преобразования под знаком предела:

На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма:

Задача 14. Найти .

В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Таким образом, получаем:

Итак,