Производная функции
Таблица производных основных элементарных функций
1. 
, с =const.
2. 
, где 
. В частности, 
3. 
. 
4. 
, . 
.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Правила дифференцирования
Пусть 
, с - const.
1. 
2. 
. В частности, 
.
3. 
4. (Сложная функция). 
Задача 1. Найти производные функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
Задача 2. Найти производные функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
Данные функции являются сложными, поэтому при их дифференцировании применим правило дифференцирования сложной функции.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е)
 |
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование применяется для дифференцирования степенно-показательной функции, т.е. функции вида 
, а также дробно-рациональных функций.
Задача 3. Найти производную функции 
.
1) прологарифмируем обе части равенства:
;
2) продифференцируем обе части, учитывая, что 
:
;
3) выразим 
:
;
4) подставим 
:
Итак, 
.
Дифференцирование неявной функции
Задача 4. Найти производную 
функции 
.
1) Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что 
:
.
2) Выразим :
Задача 5. Найти производную второго порядка функции 
.
.
Задача 6. Найти производную функции 
в точке x=2.
Функция представляет собой частное, поэтому применяем правило дифференцирования дроби, а также формулу производной степенной функции (для 
и для 
):
Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2:
= 
.
Задача 7. Найти дифференциал функции 
.
 |
Используем формулу дифференциала функции одной переменной:
.
тогда 
.
Дифференцирование функций, заданных
параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями 
,
тогда 
, или 
Задача 8. Найти 
, если
Правило Лопиталя
Если при вычислении пределов затруднительно использование эквивалентностей, то можно применить следующее утверждение.
Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, а также являются одновременно бесконечно малыми (или бесконечно большими) при 
. Пусть, далее, 
в окрестности точки a (кроме, возможно, самой точки). Если существует 
, то существует и 
, причем 
.
Задача. Найти с помощью правила Лопиталя:
а) 
; б) 
a)В данном случае после подстановки x= 0 замечаем, что и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, т.е. мы имеем дело с неопределенностью 
. Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе – сумма функций. Воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно проверив все его условия.
Неопределенность 
уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаменателе, дифференцируемы при всех действительных x и 
при 
. В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае существует предел отношения производных, то его значение совпадет со значением искомого предела. Предположим, что это так, и проведем вычисления:
Итак, 
При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности). При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия правила Лопиталя.
Рассмотрим теперь задание б). Очевидно, что здесь вообще нет эквивалентных функций. Кроме того, при 
и 
. Это неопределенность вида 
, к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если f(x) – бесконечно малая при функция, то 
будет бесконечно большой при . Таким образом, поскольку
,
мы приходим к неопределенности 
и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому
(учтено, что 
). Итак, 
.