Теорема (Критерий дифференцируемости).

Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала производная . При этом справедлива формула , (принято, что ).

Так как уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

а дифференциал , то очевидно, что геометрический смысл дифференциала есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке

Свойства дифференциала схожи со свойствами производной. Если функции дифференцируемы на некотором интервале где - некоторые числа, то

,

 

 

 

Если функция сложная, то дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности формы записи (одинаковой формой записи в зависимых и независимых переменных)

 

 

Проиллюстрируем понятие дифференциала на примерах.

Пример.

Вычислить дифференциал функции .

Пример.

Найти приближенное значение корня

Рассмотрим функцию Так как она дифференцируема в точке , то ее приращение представимо в виде

Отбросив бесконечно-малые величины, получим приближенное равенство

Если , то , и имеем формулу

откуда получаем

Задание 7. Нахождение производных высших порядков.

Если у функции существует производная на интервале , то она в свою очередь является некоторой функцией от .

Пример.

,тогда ; , тогда .

Для полученных при дифференцировании функций можно вновь применить понятие производной.

Определение.

Если на интервале существует производная от первой производной функции то она называется второй производной от на интервале и обозначается

Пример.

Найти вторую производную функции

Так как , то .

Аналогично можно ввести производные более высокого порядка.

Определение.

Пусть у функции существует производная порядка "n-1" на интервале Если на этом интервале существует производная от производной порядка " n-1" функции то она называется производной порядка "n" и обозначается

Пример.

Найти пятую производную функции . Производя последовательные дифференцирования, имеем

 

,

 

Здесь принято, что производные до второго порядка включительно обозначаются штрихами, производные более высокого порядка обозначаются верхним индексом в скобках. Очевидно, что для нахождения производных высоких порядков нужно последовательно применить первую производную к функции, ее первой производной, второй производной и так до производной нужного порядка.

Заметим, что если существует производная порядка "n", то все производные более низких порядков также существуют. Обратное неверно.

Пусть на интервале ( существуют производные порядка "n" у функций и тогда справедливы свойства:

 

1.Линейность.

,

где константы.

 

2.Формула Лейбница

Здесь принято, что знак - обозначает сумму "n+1" слагаемых, получающихся при изменении индекса от нуля до "n", а числа вычисляются по формуле

= .

Пример.

Вычислить пятую производную , если .

 

Используя формулу Лейбница, имеем

 

Так как , в частности , то

Найдем производные функций и , производя последовательные дифференцирования

 

Подставляя найденные производные и числа в формулу Лейбница, получаем

=

После преобразования имеем

=

 

Задания 8, 9. Построить график функции.

Полное исследование функции и построение ее графика рекомендуется проводить по схеме:

1. Найти область определения функции D(x) – множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

2. Исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность.

Если и существует такое число , что для любого , то исследуемая функция периодична с периодом . При этом достаточно построить график функции на промежутке и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если , то исследуемая функция четная, в этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно оси ординат на .

Если , то исследуемая функция нечетная, в этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно начала координат на .

3. Асимптоты. Для их нахождения установить характер точек разрыва функции (если они имеются), исследовать поведение функции в точках разрыва и при стремящемся к бесконечности.

Если в точке функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту ( прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки кривой до этой прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю ).

Если при существуют и конечны пределы и , то прямые вида называются наклонными асимптотами графика функции .

4. Найти экстремумы функции (max или min) и интервалымонотонности функции (возрастания, убывания).

Если на (а, b) производная , то функция возрастает на этом интервале, при функция на интервале убывает.

Для отыскания точек экстремума применим следующие приемы:

1) Если в окрестности критической точки первой производной х₀ (эти точки ищут из условий: y' не существует или y'=0) первая производная функции непрерывной функции меняет знак, то в точке есть экстремум, причем при смене знака производной с “-” на “+” в точке имеется минимум(f(x₀)=f_min ) при смене знака с “+” на “-” в точке имеется максимум(f(x₀)=f_max).

2) Если в критической точке производная , но вторая производная , то точка - точка экстремума, при этом при значении в точке имеется максимум (f(x₀)=f_max), если же , то в точке имеется минимум(f(x₀)=f_min ).

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Для отыскания промежутков выпуклости и вогнутости графика функции применяется вторая производная. Функция будет выпукла на интервале(выпукла вверх) в том случае, если на этом интервале, если же на интервале (а, b), то функция будет на интервале вогнутой(выпуклой вниз).

Когда в окрестности критической точки х₀ второй производной(эти точки ищут из условий: не существует или ) вторая производная функции меняет знак и существует касательная в точке _, то точка с координатами называется точкой перегиба точка перегиба.

6. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график: С осью Оy: положив x=0, и найдя y=f(0). С осью Ох: положив y=0, и решив уравнение. f(x)=0 ( это уравнение решают только в случае, если оно простое).

7.По результатам исследования по пунктам 1-6 построить график данной функции.

 

Пример.

Построить график функции .

1. Найдем область определения данной функции.

Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х= -1 и х=1, т.к. в этих точках функция не определена. Значит точки х= -1 и х=1 - точки разрыва функции:

 

 

Исследуем данную функцию на четность, нечетность и периодичность.

 

 

Так как f(-x)=f(x), то данная функция является четной и ее график симметричен относительно оси Оy. Поэтому дальнейшие исследования будем проводить для х 0.

Функция не является периодической.

 

1. Исследуем характер точек разрыва функции и поведение функции в бесконечности.

 

 

В точках имеем:

Значит, точки – точки бесконечного разрыва 2 рода.

При получаем

_.

Заметим, что при вычислении предела применялось правило Лопиталя):

3. Найдем асимптоты графика функции.

а) Вертикальные.

Так как - точки бесконечного разрыва функции, то – уравнения вертикальных асимптот графика функции .

б) Наклонные асимптоты ищем в виде .

Для правой ветви графика функции имеем

,

 

(при вычислениях пределов применялось правило Лопиталя).

 

Значит, y= -1 – уравнение горизонтальной асимптоты для правой ветви.

 

4. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции.

Вычислим первую производную функции:

.

 

Найдем теперь критические точки 1 рода из условий первая производная y'=0 или не существует.

y' существует для всех x принадлежащих D(x).

y'=0 при 4x= 0, т.е. x= 0 - критическая точка функции первого рода.

Отметим эту точку на числовой оси и разобьем область определения исследуемой функции (х 0) на интервалы [0; 1) и (1; ):

 

Найдем знак y' на каждом из интервалов:

(0; 1): y'(0,5)=4·0,5/(1-0,5²)²=2/(0,75)²>0 функция возрастает на данном интервале.

(1; ): y'(2)=4·2/(1-2²)²=8/9>0 функция возрастает на данном интервале.

1. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Вычислим вторую производную функции:

Найдем теперь критические точки 2 рода из условий y" не существует и y"=0.

y" существует для всех x принадлежащих D(x).

y"=0 при 3x²+1=0 - уравнение решений не имеет. Нет критических точек 2 рода.

Отметим на числовой оси область определения функции (х 0)

 

 

Найдем знак y^" на каждом из интервалов:

(0; 1): y^"(0,5)=4·(1+3·0,5²)/(1-0,5²)³=4·1,75/(0,75)³>0 направление выпуклости вниз на данном интервале.

(1; ): y^"(2)= 4·(1+3·4)/(1-4)³=4·13/(-27)<0 направление выпуклости вверх на данном интервале.

Точек перегиба нет.

 

6. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью 0у: х=0 y=1; т. пересечения – (0;1)

С осью 0х: у=0 при x² +1=0 – решений не имеет, нет точек пересечения.

7. По результатам исследования по пунктам 1-6 составим таблицу и построим график данной функции для х 0.

х		(0;1)	(1; )
y'		+	+
y"		+	-
y		Выпукл. вниз возрастает	Выпукл. вверх возрастает
	min

Строим теперь график для х 0 и отражаем его симметрично относительно оси Оy

 

 

Задание 10. Нахождение частных производных ФМП и исследование на экстремум в замкнутой области.

Функции нескольких переменных: область определения, частные производные. Производные сложных функций.

Определение. Функции двух переменных.

Если " упорядоченной паре чисел (x,y)ÎD по некоторому закону f ставится в соответствие число zÎE, то говорят, что задана функция z=f(x,y). Множество D- область определения, а E - область изменения функции.

Геометрический смысл ФМП - поверхность в пространстве.

Пример.

Z=x²+y² задает параболоид, а Z=A₁x+B₁y+D₁ - плоскость.

 

Определение. Функции многих переменных (ФМП.)

Если "(x₁,x₂,...x_n) zÎR, то говорят, что z=f(x₁,x₂,...x_n)- ФМП.

Пример.

Нахождение областей определения ФМП производят с учетом свойств элементарных функций.Если z=ln(xy) Þ xy>0 Û или

при z=ln(sin(xy)) Þ sin (xy)>0 Þ 0+2pk<xy<p+2pk.

Пределы ФМП

Определение.

Число А называют пределом ФМП z=f(x,y) в т.(x₀,y₀),если

"e>0 $d>0:"пар (x,y) из неравенства 0<(x-x₀)²+(y-y₀)²<d²

^{следует} Þ½f(x,y)-A½<e,

 

при этом пишут

.

Если А=0, т. е. , то функцию f(x,y) называют бесконечно-малой (БМФ) при (x,y)®(x₀,y₀).

Определение. Бесконечно большой функции.

Если "М>0 $d:"(x,y) из 0<(x- х₀)²+(y-y₀)²<d² Þ ½f(x,y)½>M, при этом пишут и говорят, что z=f(x,y) бесконечно-большая (ББФ), при (x,y)®(x₀,y₀).

Геометрический смысл.

 

z=

 

 

Определение. Непрерывной функции.

Говорят, что функция f(x,y) непрерывна в т. (х₀,y₀), если

 

Замечание

Кроме существуют повторные пределы и , причем из - повторных пределов, но из $-я повторных пределов не следует

 

Пример.

-? Найдем

Но предел, если он существует, единственен, значит не существует предела z= , при (x,y)®(0,0)

Частные производные ФМП

Пусть z=f(x,y) определена в т. M₀(x₀,y₀) и ее окрестности

Назовем разность x-x₀=Dx- приращением координаты х, а

y-y₀=Dy- приращением координаты y, тогда для функции z=f(x,y) имеем

D_xz=f(x₀+Dx,y₀)-f(x₀,y₀)- частное приращение по координате x

D_yz=f(x₀,y₀+Dx)-f(x₀,y₀)- частное приращение по координате y.

 

Определение 1. Частной производной по переменной х.

Если существует конечный предел отношения D_xz к Dх при Dx®0, то он называется частной производной по переменной х и обозначается

.

 

 

Определение. Частной производной по переменной у.

 

.

 

При нахождении частной производной по заданной переменной фиксируются все переменные кроме заданной и частная производная находится как обычная производная функции одной переменной.

 

Геометрический смысл частных производных

 

Пример.

z=x^y, =yx^y-1, =x^y×ln x

z=ln xy, z'_x=1/xy×(xy)'_x=y/xy=1/x.

z'_y=1/xy×(xy)'_y=x/xy=1/y.