Введение
Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов.
При изучении рядов заданному числовому ряду
(А)
в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы 
, в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.
В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.
Глава 1. Основные понятия теории рядов
Определения и термины
Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды. А что же такое, вообще, ряд?
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
(1)
Составленный из этих чисел символ
(2)
называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:
(2а)
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;
(3)
их называют частичными суммами ряда.
Конечный или бесконечный предел А частичной суммы 
ряда ( 2) при 
:
называют суммой ряда и пишут
,
Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна 
, либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.
Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:
Его частичная сума будет (если 
)
Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то 
имеет конечный предел
то есть наш ряд сходится, и 
будет его суммой.
При 
та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если 
, то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= - 1;
… 
1+ (-1) +1+ (-1) +1+…
Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.
2) Легко установить расходимость ряда
В самом деле, так как члены его убывают, то его n -я частичная сумма
и растет до бесконечности вместе с n.
Истоки проблемы
Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.
Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.
Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.
Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд
Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число 
. Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения
(которое в действительности имеет место лишь для 
) при подстановке вместо х единицы как раз и получается
В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но 
)
получить одновременно
Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду 
приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду 
- “обобщенная сумма" В, то ряд 
, где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число 
. Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.
Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов ‘обобщенного суммирования".
Глава 2. Метод степенных рядов
Суть метода
Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
( 1)
Если этот ряд для 
сходится и его сумма 
при 
имеет предел А:
,
то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого 
при 
стремится к пределу 
. Значит, число 
, действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
(2)
является расходящимся при всех значениях 
Действительно, если 
имеет вид 
, где 
и 
- натуральные числа, то для значений 
, кратных , будет 
, так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение 
иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби 
, будем иметь, как известно,
откуда 
Таким образом, для бесконечного множества значений
, так что 
.
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква 
заменяет прежнюю букву 
), то его сумма при значении 
, отличном от 0, будет
(3)
и при 
стремится к 0. Таким образом, для 
“обобщенной суммой” ряда будет 0. если 
, то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную 
; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к 
, также имеет пределом 
.
3) Аналогично ряд
,
который сходится лишь при или 
, приводит к степенному ряду
.
Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной 
при 
и равной нулю при 
.
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
2.2 Теорема Абеля [1]
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для 
сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда 
.
Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
( где 
); вычтем его почленно из тождества
.
Полагая 
, Придем к тождеству
(4)
Так как 
то по произвольно заданному 
найдется такой номер 
, что 
, лишь только 
.
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от 
:
Что же касается первой, то она стремится к 0 при 
и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно 
что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (
), т.е. о существовании для него суммы 
в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что
( 6)
то и 
Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что 
Если положить 
то при 
величина 
, монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
так что:
Взяв произвольно малое число 
, положим
Так что при 
. Пусть теперь 
выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство 
; соответствующее x было настолько близко к 1, что
. Тогда 
Что и доказывает утверждение теоремы.
К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим
так что
и затем
(7)
Но из предположения теоремы, т.е. из того, что 
при 
, легко получить, что
. (8)
Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:
и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители 
были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа 
, тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше 
, каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.
Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и
С другой стороны,
Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю
Что и завершает доказательство теоремы.